共役複素数

質問

方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ
その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである
このときa、b、c、dの値を求めよ

2つの解α、βを、
α=p+qi、β=r+si
とおくと、
共役複素数同士の和は実数だから
α+βか￢α+￢βが19+2i、残った方の積が4+5iなのはわかりましたがここからがわかりません
解き方を教えてください

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

>(x - s)(x - t)=x^2-(s+t)x+st
>で、このときs+tが19+2i(また、s~t~が4+5i)だとするとx^2 - (19+2i)x + (4-5i)になりますが、
>s~+t~が19+2iの場合はならないと思います

(お尋ねの主旨をつかめてませんが)
s~+t~ が 19+2i なら、st = 4+5i でしょうから、
　(x - s~)(x - t~) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)
　(x - s)(x - t) = x^2 - (19-2i)x + (4+5i)
なのでしょうね。
右辺の積は、前と同じになりそう。

お礼

全てわかりました
前の質問も含めてありがとうございました

回答No.5

uyama33

a、b、c、d
は、実数ですか？
それとも複素数ですか？

もし、実数なら、実数を係数とする方程式の解は
どんな性質を持ちますか？

教科書にちょっとだけ書いてあるか、
先生が話したか、
受験参考書には書いてあるはずです。

複素数の共役　のところを調べて下さい。

補足

すみません、実数です

共役複素数も解になると書いてあります
だから解をα、βとおくと共役複素数￢α、￢βも解になり、α+βか￢α+￢βが19+2iと選択肢が分かれてしまいますのでわからなくなってしまいました

回答No.4

178-tall

>st=4-5i　s~t~=4+5i　のように2つの複素数の和や積は共役複素数の和や積の共役複素数になるのはなぜですか？

なぜ？と訊かれると答えに詰まりますが、試算で確かめられますよ。
　s = d + ei, t = f + gi とでもすれば、積の場合ならば、
　st = (df - eg) + (dg + ef)i
　s~t~ = (df - eg) - (dg + ef)i = (st)~

>(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)じゃないのを想定したものは考えなくていいんですか？

問題が言ってることをそのまま式にしたもの。
何か、見逃していそうですか？

補足

確かになりそうです ありがとうございました

(x - s)(x - t)=x^2-(s+t)x+st
で、このときs+tが19+2i(また、s~t~が4+5i)だとするとx^2 - (19+2i)x + (4-5i)になりますが、s~+t~が19+2iの場合はならないと思います

回答No.3

178-tall

途中ですっぽかされたので、ストーキング。

　　(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)　　　　　…(1)
と想定した場合、
　　(x - s~)(x - t~) = x^2 - (19-2i)x + (4+5i)　　　　…(2)
だから、
(1) と (2) の右辺同士を掛けたものが答案。

補足

すみません、新たに意見を募りたいと思いまして

st=4-5i
s~t~=4+5i
のように2つの複素数の和や積は共役複素数の和や積の共役複素数になるのはなぜですか？
また、(x - s)(x - t) = x^2 - (19+2i)x + (4-5i)じゃないのを想定したものは考えなくていいんですか？

回答No.2

Tacosan

「分かる方法がある」から書いてます.

ああ, 「『残った方』じゃない 2つの積」の代わりに「残った方の和」を求めてもいいね. 同じことだし.

補足

分かる方法はなんでしょうか？

回答No.1

Tacosan

「残った方」じゃない 2つの積はいくつ?

補足

わかりません
分かる方法があるのでしょうか？