複素数の問題

質問

（１）実数a,b,cはa+b+c=-1を満たす。P(X)=(x-1)(x^2+(a+1)x-c)=0が
虚数解α、βを持つとき、Ａ＝（α/β）+（β/α）は実数である。すべての虚数解α、β
に対し、Ａ＜ｐとなるような実数ｐのうち最小のものはｐ＝□である。また、α＝u+vi(u,vは実数)と表すときu~2+v~2=□□である。
（2）P(X)=(x-2)(x^2-(a+2)x+3a+5)が2つの虚数解α、βを持つとき、3α~2-β＝ki(kは実数)となるようなaの値は□である。a=□の時、３α~2-βの値は□□√□i　または　
-□□√□i　である。
□の中に、数字を入れる問題です。センター試験の過去問の後半から抜き出した問題のようです。正解は分かりません。
どうぞよろしくご教授ください。お願いします。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

（１）実数a,b,cはa+b+c=-1を満たす。P(X)=(x-1)(x^2+(a+1)x-c)=0が
虚数解α、βを持つとき、Ａ＝（α/β）+（β/α）は実数である。すべての虚数解α、β
に対し、Ａ＜ｐとなるような実数ｐのうち最小のものはｐ＝□である。また、α＝u+vi(u,vは実数)と表すときu~2+v~2=□□である。
＞x^2+(a+1)x-c=(x-α)(x-β)=x^2-(α+β)x+αβ
α+β=-(a+1)、αβ=-c
A=(α/β)+(β/α)=(α^2+β^2)/αβ={(α+β)^2-2αβ}/αβ
=(α+β)^2/αβ-2={-(a+1)^2-2c}/c
根の判別式(a+1)^2+4c＜0、-(a+1)^2-2c＞2c、{-(a+1)^2-2c}＞2c
c＜0だから{-(a+1)^2-2c}/c＜2、すなわちA＜2、p=2・・・答
α=u+viならβ=u-viだからαβ=u^2+v^2=-c・・・答
（2）P(X)=(x-2)(x^2-(a+2)x+3a+5)が2つの虚数解α、βを持つとき、3α~2-β＝ki(kは実数)となるようなaの値は□である。
a=□の時、３α~2-βの値は□□√□i　または　
-□□√□i　である。
＞x^2-(a+2)x+3a+5=(x-α)(x-β)=x^2-(α+β)x+αβ
α+β=a+2、αβ=3a+5、α(a+2-α)=3a+5から
α^2-(a+2)α+3a+5=0、α={a+2±√(a^2-8a-16)}/2
ここでα=u+iv、β=u-iv、u=(a+2)/2、iv={√(a^2-8a-16)}/2
とおくと3α^2-β=3(u+iv)^2-(u-iv)=3u^2-3v^2-u+iv(6u+1)=ki
から3u^2-3v^2-u=3{(a+2)/2}^2+3[{√(a^2-8a-16)}/2]^2-{(a+2)/2}
=3(a+2)^2/4+3(a^2-8a-16)}/4-(a+2)/2=0、3a^2-7a-20=0、
これを解いてa={7±√(49+4*3*20)}/6=(7±√289)/6=(7±17)/6
根の判別式(a+2)^2-4(3a+5)=a^2-8a-16＜0より
4-4√2＜a＜4+4√2だからa=(7+17)/6=4・・・答
a=4のとき、u=(a+2)/2=3、iv={√(a^2-8a-16)}/2=i2√2
よってiv(6u+1)=(i2√2)*19=38√2i、3α^2-β=38√2i・・・答

お礼

早速教えていただきまして本当にありがとうございます。感謝、感激です。細かい計算までしていただいてお手数をかけました。とてもよく理解できました。ありがとうございました。