複素数と2次方程式の問題…

質問

2次方程式x^2+2x+4=0の２つの解をα、βとするとき、2数α-1、β-1を解とする2次方程式を作れ。

この問題がわからないのですが、教えて頂けたらお願いしますm(_ _)m
解答は 「x^2+4x+7=0」が正解らしいのですが、なぜそうなるのかわかりません……

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

2次方程式の解と係数の関係から

　α+β=-2, αβ=4 ...(1)

2数α-1、β-1を解とする2次方程式の係数は (1)より

　(α-1)+(β-1)=(α+β)-2=-2-2=-4
　(α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=4-(-2)+1=7

解と係数の関係から求める２次方程式は

　x^2 +4x+7 =0 ...(答)

お礼

一番わかりやすかったのでベストアンサーにさせて頂きました。
ありがとうございました。

回答No.6

shuu_01

解が α、β とか書かれてると、今までの解答が計算が楽と思われ、みんな判で押したように同じ解答ですが、

今回は簡単な係数なので、普通に解を求めて、１を引いても計算つらくないです

x^2＋2x＋4 ＝ 0 の解は

（x＋1）^2 ＝ －√3
x＋1 ＝±√3・i
x ＝ －1±√3・i

解がそれから １を引いた

x ＝ －2±√3・i　となる、二次方程式は

（x ＋ 2 － √3・i）（x ＋ 2 + √3・i） ＝ 0 です

それを展開すると

x^2　+｛（2 － √3・i）＋（2 + √3・i）｝x ＋ （2 － √3・i）（2 + √3・i）＝ 0
x^2 ＋ 4x ＋ 4 ＋ 3 ＝ 0
x^2 ＋ 4x ＋ 7 ＝ 0

となります

回答No.5

spring135

>x^2+2x+4=0の２つの解をα、β

x^2+2x+4=0より

(x+1)^2=-3

x=-1±√3i

α=-1+√3i、β=-1-√3i

従って

α-1=-2+√3i、β-1=-2-√3i

つまり

x=-2±√3iをまとめればよい

(x+2)^2=-3

x^2+4x+7=0

回答No.4

bgm38489

先の人の回答通り、解と係数の関係。
α＋β＝？　αβ＝？
作る２次方程式は、αー１、β―１が解なわけだから、
（α―１）＋（βー１）＝？
（αー１）（β―１）＝？

回答No.3

shuu_01

２つの解が α、βの２次方程式は

（x －α）（x － β） ＝ 0
x^2 －（α＋β）＋αβ＝ 0

x^2 + 2x +4 ＝ 0 と係数を比較し、

α ＋ β＝ －2、αβ＝4

解が α－1、β－1 の２二次方程式は

（x －α＋1）（x － β＋1） ＝ 0
x^2 －（α＋β－2）x ＋（αβ－α－β＋1） ＝ 0
x^2 －（－2 －2）x ＋（4 ＋2＋1）＝ 0
x^2 ＋4x + 7 ＝ 0

【答え】　x^2 ＋4x + 7 ＝ 0

* ただ、それだけのこと

回答No.1

Tacosan

「解と係数の関係」って知ってる?