複素数と方程式

質問

2次方程式（１＋i）x^2+(k+i)x+3+3ki=0が実数解をもつとき、その実数解を求めなさい。ただし、ｋは実数の定数。

というものなのですが、判別式を計算してみても、いまいち式が整理できないし、解の公式にいれてみても、よく分かりません。

このような問題はどのように手をつけたらいいのでしょうか？

回答No.5

noname#47975 · ベストアンサー

まず、方程式の左辺を虚部と実部に整理すると、
x^2 + kx + 3 + (x^2 + x + 3k)i = 0
さらに、虚部を右辺に移行すると、
x^2 +kx +3 = -i(x^2+x+3k)
になります。

ここで、左辺は実数なので、右辺が実数になるためには、
(x^2 + x + 3k)　=　0　(1)でなければなりません。
また、x^2 + kx + 3 = -i×0 = 0により、
x^2 + kx + 3 = 0 (2)となります。
よって、(1),(2)におけるx,kの連立方程式を解けば良い
わけです。

x^2 + x + 3k = 0 (1)
x^2 + kx + 3 = 0 (2)

だが、この連立方程式を解くに当たっての注意点があります。
文字を消去する際には、慎重にならなければ間違えてしまいますし、
また、不完全な解しか求まらない事にもなりかねません。

ここで、まず、(1)-(2)より、(1-k)x + (3k-3) = 0の一次式が
得られるわけですが、(1-k)x = 3(1-k)となり、
(1-k)≠0の場合は、(1-k)を払う事ができ、x = 3となり、
(1)式もしくは(2)式の左辺のxに値を代入すれば、
3k+12=0となり、k=-4となります。
よって、k=-4のときx = 3となります。
次に、1-k=0のすなわち、k=1のときは、(1-k)x=3(1-k)は0x=0となり、
後は、(1)式または(2)式の左辺にk=1を代入すれば、
x^2 + x + 3 = 0の二次方程式を得ますが、この二次方程式は実数解を
持たないので、不適です。

以上を纏めると、k = 4のとき実数解xは３であり、
それ以外は実数解が存在しないという事になるのでしょうか。

この問題は、考慮すべき条件が多くてかなり発展的で複雑な問題ですね。

お礼

詳しく解説していただいて感謝しています。
ありがとうございました！！！

回答No.4

kkkk2222

ーーー
係数が複素数の場合は、
実部と虚部に分けて考えるようです。

（１＋i）x^2+(k+i)x+3+3ki=0
【x^2＋Ｋx＋３】＋【x^2＋Ｘ＋３Ｋ】i＝０＋０i

x^2＋Ｋx＋３＝０
x^2＋Ｘ＋３Ｋ＝０

ふたつの式の共通解と見ると、面倒でも共通解Ａと置いた方が紛れが少ない様です。

Ａ＾２＋ＫＡ＋３＝０
Ａ＾２＋Ａ＋３Ｋ＝０　　上から下を引いて

（Ｋ－１）Ａ＋３（１－Ｋ）＝０
（Ｋ－１）（Ａ－３）＝０

１＃　Ｋ＝１のとき、２式は同一となり、
　　　Ａ＾２＋Ａ＋３＝０　となるが、この式は実数解を持たず不適。

２＃　Ａ＝３のとき、２式は共に、１２＋３Ｋ＝０　となり。
　　　　Ｋ＝－４

この時、２式は
○　Ａ＾２ー４Ａ＋３＝０
　　（Ａ－３）（Ａ－１）＝０
---
○　Ａ＾２＋Ａ－１２＝０　
　　（Ａ＋４）（Ａ－３）＝０

よって　Ａ＝３　のみが解といえる
ーーー

お礼

実部と虚部に分けて考えるということが必要だったんですね。
ありがとうございました！！！

回答No.3

noname#101087

>2次方程式（１＋i）x^2+(k+i)x+3+3ki=0が実数解をもつとき、その実数解を求めなさい。ただし、ｋは実数の定数。

[ヒント]
複素係数の2次方程式 a*x^2+b*x+c=0 が実数解をもつとき、その解は
　Ra*x^2+Rb*x+Rc=0
　Ia*x^2+Ib*x+Ic=0
　(Ra, Rb, Rc はそれぞれ a, b, c の実部、Ja, Jb, Jc はそれぞれ a, b, c の虚部)
を同時に満たすはずです。

お礼

次このような問題があったら、実部、虚部という方向で考えるという第一歩を頭に入れるようにします。
ありがとうございました！！！

回答No.2

koko_u_

2次方程式の解は (-b ±√D)/(2a) ですが、方程式の係数 a, b が複素数の場合、その判別式 D の符号を考えても、解が実数かどうかは分かりません。

まずは x_0 ∈ R が解とすると、与えられた方程式を実部と虚部に分けることで、方程式が 2つ得られることから始めましょう。

お礼

本当にそうですね・・・
判別式を考えても何も進みませんでした・・・

ありがとうございます！！！

回答No.1

suzukikun

判別式で虚数項が０になるようにすることと、実数解を持つようにすることを同時に満たすようなKを求めればいいのだと思います。