積分の問題について、・・・

質問

不定積分の計算が良く解っておりません。

解説付きで頂けますととても勉強になるかと思います。
よろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
画像が不鮮明でよく見えないですが
I=∫[0→a/2] √(a^2-x^2) dx
で良いですか？

そうなら
a>0として
x=a*sin(t)とおいて置換積分
　x:0→a/2 のとき t:0→π/6
　dx=a*cos(t)
　√(a^2-x^2)=a√(1-sin^2(t))=a*cos(t)
なので
I=∫[0→π/6] (a^2)cos^2(t)dt
=(1/2)a^2 ∫[0→π/6] 2cos^2(t)dt
=(1/2)a^2 ∫[0→π/6] {1+cos(2t)}dt
=(1/2)a^2 [t+(1/2)sin(2t)][0→π/6]
=(1/2)a^2 [(π/6) +(√3/4)]
={(π/12)+(√3/8)}(a^2)

(2)
画像が不鮮明でよく見えないですが
I=∫[1→√3] 3/(1+x^2) dx
で良いですか？

そうなら
x=tan(t)とおいて置換積分
　x:1→√3 のとき　t:π/4→π/3
　3/(1+x^2)=3/(1+tan^2(t))=3cos^2(t)
　dx=sec^2(t)dt=dt/cos^2(t)
なので
I=∫[π/4→π/3] 3dt
=3{(π/3)-(π/4)}
=3(π/12)
=π/4

お礼

回答ありがとうございます。

見づらい画像で申し訳ございません。
急いでいたので、裏紙を使用してしまいました。
問題も間違いなく、この回答を参考にさせて頂きます。
また、何かございましたらよろしくお願いします。