積分問題をおねがいします！

質問

☆∫sin^3xcosxdxの不定積分を求めよ。
☆x2^xの不定積分を求めよ。

答えは、sin^4x/4 x2^x/log2-2^x/(log2)^2+C
なんですが、手順をよろしくお願いします！

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

☆∫sin^3xcosxdxの不定積分
置換積分法で解きます。
t=sinxとおくと
dt/dx=cosx
dt=cosxdx
よって
∫sin^3xcosxdx=∫t^3dt=t^4/4+C=sin^4x/4+C

☆x2^xの不定積分を求めよ。
部分積分で解きます。
∫x2^xdx=x*2^x/log2-∫(x)'2^x/log2dx=x2^x/log2-2^x/(log2)^2+C

となります。

お礼

ありがとうございました！参考書の問題だったのですが、
部分積分がいつ使うのかとかわからかったので・・・
ホントありがとうございます！

回答No.2

wataken44

1.置換積分
sinx=tと置くとdt/dx=cosx
従ってdt=cosxdx (これが置換)
(与式)
=∫t^3 dt
=t^4/4+C
=sin^4(x)/4+C

2.部分積分
∫f(x)dx=F(x)と置くと
∫f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-∫F(x)g'(x)dx
これが部分積分

∫2^xdx=2^x/log2である事を利用して
∫x*2^xdx
=x*2^x/log2-∫(x)'*2^x/log2 dx
=x*2^x/log2-(∫2^x dx)/log2
=x*2^x/log2-2^x/(log2)^2+C

上の一般式との対応はf(x)=2^x g(x)=x F(x)=2^x/log2

数(3)の基本になるんでたくさん練習をしたほうがいいかと

お礼

ありがとうございました！参考書の問題だったのですが、
部分積分がいつ使うのかとかわからかったので・・・
ホントありがとうございます！