積分の問題を教えてください。

質問

積分の問題を教えてください。

次の３問の積分の計算過程を教えてください。
((3)は種が異なりますが)
解説には計算過程が省かれていてどうしてもわかりません。
公式を使用したのかと思い、調べてみてもどうやら違うようでした。

(1) ∫t/{(t^2+1)^2}dt=-1/{2(t^2+1)}+C

(2) ∫t/{√(t^2+1)}dt=√(t^2+1)+C

(3) 1/(cosx)が(-π/2,π/2)で定義される連続関数となるのはなぜですか。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1),(2)はつぎの積分公式を適用すればよい。
∫f'(x)g(f(x))dx=G(f(x))+C
ただし、G(x)=∫g(x)dx

(1)
t/(t^2+1)^2=(1/2)(t^2+1)'/(t^2+1)^2=(-1/2)(t^2+1)'{-1/(t^2+1)^2}

f(t)=t^2+1,g(t)=-1/t^2とおけば
G(t)=∫(-1/t^2)dt=1/t+C',f'(t)=2t

∫t/{(t^2+1)^2}dt=-(1/2)∫f'(t)g(f(t))dt
=-(1/2)G(t^2+1)=-1/{2(t^2+1)}+C

(2)
t/√(t^2+1)=(1/2)(t^2+1)'/√(t^2+1)=(1/2)(t^2+1)'*(t^2+1)^(-1/2)

f(t)=t^2+1,g(t)=t^(-1/2)とおけば
G(t)=∫t^(-1/2)dt=2t^(1/2)+C',　f'(t)=2t

∫t/√(t^2+1)dt=(1/2)*∫f'(t)g(f(t))dt
=(1/2)G(t^2+1)=√(t^2+1)+C

(3)
cos(x)は(-π/2,π/2)で定義される連続関数でcos(x)≠0なので
逆数の1/cos(x)も(-π/2,π/2)で定義される連続関数となる。

連続関数の定義を復習し、「cos(x)は(-π/2,π/2)で連続関数」であるとは何か考えてみて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

Anti-Giants

(1)(2) t^2 + 1 = s　と置換

(3)(-π/2,π/2)で、連続関数の定義の条件を満たしているかどうか確認すればよい

お礼

回答ありがとうございます。