積分

質問

log（1+y2乗）のyについての不定積分のやり方を教えてください。
途中計算も詳しく教えてもらえるとうれしいです。

回答No.2

info22

I=∫log(1+y^2)dy=ylog(1+y^2)-∫{(2y^2)/(1+y^2)} dy ←部分積分
=ylog(1+y^2)+∫[{2/(1+y^2)}-2]dy　←部分分数展開
=ylog(1+y^2)-2y+2∫[{1/(1+y^2)}dy
=ylog(1+y^2)-2y+2atctan(y)+C (Cは積分定数）

#1の方と同じでした。
＃ほんの先に解答された後でした。

お礼

同じだったとしても解答いただいて、うれしいです。
ありがとうございました。

回答No.1

ushioni

間違ってたらごめんなさい。
ざっと、以下の感じで。

∫log(1+y^2)dy
=ylog(1+y^2)-2∫(y^2/(1+y^2))dy
=ylog(1+y^2)-2(∫dy-∫(1/(1+y^2))dy)
=ylog(1+y^2)-2(y-∫(1/(1+y^2))dy)

∫(1/(1+y^2))dyにおいて
y=tanθとおくと
dy=dθ/(cosθ)^2

∴∫(1/(1+y^2))dy
=∫(1/(1+(tanθ)^2))dθ/(cosθ)^2
=∫dθ
=θ
=arctan(y)

∴
∫log(1+y^2)dy=ylog(1+y^2)-2(y-arctan(y))+C　(Cは積分定数)

お礼

なるほどー。助かりました。ありがとうございます。