積分問題

質問

積分ができません。

x*2^x　の不定積分です

答えは　2^x*{(xlog2)-1}/(log2)^2+C　となっています。

解き方を教えてください

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

x*2^x=x*e^(xlog2)であることに注意すれば
∫x*(2^x)dx=∫x*e^(xlog2)dx
部分積分法を適用して
=x*{e^(xlog2)}/log2 -∫{e^(xlog2)}/log2 dx
=x*(2^x)/log2 -(1/log2)∫{e^(xlog2)} dx
=(x/log2)*2^x -{(1/log2)^2}e^(xlog2) +C
=(x/log2)*2^x -{(1/log2)^2}*2^x +C
=(2^x)*{(xlog2)-1}/(log2)^2+C

お礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。無事解けました。
ありがとうございました。

回答No.1

nag0720

2^xだと扱いづらいので、底をeに変更しましょう。
t=xlog2 と置けば、
x*2^x=x*e^(xlog2)=t*e^t/log2
dx=dt/log2
なので、
∫x*e^xdx=(∫t*e^tdt)/(log2)^2

部分積分法より、
∫t*e^tdt=t*e^t-∫e^tdt
なので、これはできますね。

お礼

お礼が遅くなってしまい、申し訳ありません。
ありがとうございました。