グリーン関数による微分方程式の解ζ=a-x?

質問

次の微分方程式の解を設問に従ってグリーン関数を使って求めよ。
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = -xe^x
ただし、xの変域 0 <= x <= aの範囲で考えるものとし、x=0およびx=aにおいて、いずれもy=0なる境界条件に従うものとする。

(1) 次の斉次微分方程式の一般解を求めよ。
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = 0

解答
2回積分を繰り返して
　　　　　y = c1x + c2

(2) 境界条件を満足するグリーン関数G(x,ζ)を求めよ。

解答
x=0でy=0なる境界条件を満足する解をy1(x)=c1xとおく。
同様に、x=aでy=0なる境界条件を満足する解をy2(x)=c2(a-x)とおく。
　　　　　A=c1ζ(-c2) - c1c2(a-ζ)
　　　　　　=-c1c2a
であるから、グリーン関数G(x,ζ)は次のように求まる。
（場合分け）
G(x,ζ)
= -{ c1xc2(a-ζ) }/(-c1c2a)
= (x/a) * (a-ζ)　　　　　　　　　　：x <= ζ

G(x,ζ)
= -{ c1ζc2(a-x) }/(-c1c2a)
= (ζ/a) * (a-x)　　　　　　　　　　：x >= ζ

(3) グリーン関数G(x,ζ)を用いて非斉次微分方程式
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) = -xe^x
の解を求めよ。

解答
r(x) = xe^xであるから、非斉次微分方程式の解は次のように求まる。
y = ∫[0,a] G(x,ζ)ζe^(ζ) dζ
= ∫[0,x] (ζ/a) * (a-x)ζe^(ζ) dζ + ∫[x,a] (x/a) * (a-ζ)ζe(ζ) dζ

ここで、
∫[0,x] ζ^2 * e^(ζ) dζ
= (x^2 - 2x + 2)e^x - 2
および
∫[x,a] (a-ζ)ζe^(ζ) dζ
= (x^2 - ax - 2x + a + 2)e^x + (a-2)e^a
であるから、解は次のように求まる。

y = { (a-x)/a } * { (x^2 - 2x + 2)e^x - 2 } 　　　　　　　　　　←この(a-x)はどこから？
　+ (x/a) * { (x^2 - ax - 2x + a + 2)e^x + (a-2)e^a }
= (-x+2)e^x + (x/a) * (a-2)e^a + 2(x/a - 1)

・・・という問題なんですけど、上記の(a-x)はどこから来たのですか？
(3)の解答の∫[0,x] (ζ/a) * (a-x)ζe^(ζ) dζ では、分子がζになっています。
ということはζ=(a-x) っぽいんですが、そんな式はどこにも見つかりません。
どうやって、この(a-x)を得たんでしょうか？

昼からずっと考えていますけど、分かりません。
どうか教えてください。お願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

(3)の解答の次の部分をもう少し計算すればよいです．
>y = ∫[0,a] G(x,ζ)ζe^(ζ) dζ
>= ∫[0,x] (ζ/a) * (a-x)ζe^(ζ) dζ + ∫[x,a] (x/a) * (a-ζ)ζe(ζ) dζ

積分はζに関するから，ζに無関係な部分

∫[0,x]dζの中の(a-x)/a
∫[x,a]dζの中のx/a

を外に出せばよいです．

y={(a-x)/a}∫[0,x]ζ^2e^ζdζ+ (x/a)∫[x,a] (a-ζ)ζe＾ζdζ

そこで

∫[0,x]ζ^2e^ζdζ=(x^2-2x+2)e^x-2
∫[x,a] (a-ζ)ζe^(ζ) dζ=(x^2-ax-2x+a+2)e^x+(a-2)e^a

を代入しているだけです：

y={(a-x)/a}((x^2-2x+2)e^x-2+ (x/a)(x^2-ax-2x+a+2)e^x+(a-2)e^a

お礼

確かにそうですね！
しかも、「ここで」のζは
> ∫[0,x] ζ^2 * e^(ζ) dζ
…と、既にちゃんと二乗されて含まれてたんですね。
今やっと気付きました。
みんなが敬遠するようなこんな質問に答えてくださって
本当にありがとうございました！