微分方程式の特殊解

質問

申し訳ありませんが、教えてください。

(d^2y/dx^2)-(dy/dx)=e^x/(1+e^x)

という2階の微分方程式で同次方程式の一般解は、

y=A+Be^x (A,Bは定数)

となりますが、特殊解の求め方が分かりません。
お分かりになる方、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

ElectricGamo · ベストアンサー

微分演算子を使って機械的に処理するのが楽です。微分演算子をD、求めたい特殊解をYとすると、

Y=1/(D^2-D) exp(x)/(1+exp(x))
=1/(D-1)・1/D exp(x)/(1+exp(x))
=1/(D-1)∫exp(x)/(1+exp(x))dx
=1/(D-1)log(1+exp(x))
=exp(x)∫exp(-x)log(1+exp(x))dx
=exp(x)∫{-exp(-x)}'log(1+exp(x))dx
=exp(x){-exp(-x)log(1+exp(x))-∫(-exp(-x))・exp(x)/(1+exp(x))}dx}
=exp(x){-exp(-x)log(1+exp(x))+∫{1/(1+exp(x))}dx}
=exp(x){-exp(-x)log(1+exp(x))+∫{1-exp(x)/(1+exp(x))}dx}
=exp(x){-exp(-x)log(1+exp(x))+x-log(1+exp(x))}
=-(1+exp(x))log(1+exp(x))+xexp(x)

微分演算子に関する公式については教科書等をお調べください。

お礼

ご回答ありがとうございました。
大変ご丁寧に説明していただいたので、理解することができました。