微分方程式の問題です。

質問

以下の問題の解答のチェックをお願いします。

図のyに関する微分方程式について、以下の問いに答えよ。

(a)y=e^zとおき、微分方程式をzに関する微分方程式に書き換えよ。
(b)dz/dx=v　とおき、(a)で得られた微分方程式をvについて解け。
(c)微分方程式(1)の一般解を求めよ。

(a) z''-2(z')^2-z'=0 (z'=dz/dx)
(b) v=Ce^x/(1-2Ce^x)
(c) y=C1・(1-C2e^x)^(-1/2)

特に(c)が自信がありません。。。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

y'=z'e^z
を微分すると
y"=z"e^z+e^z(z')^2
となる所で
y"=z"e^z
と間違っているため
(a)が間違っているため(b),(c)がすべて間違っています

(a)
z"-2(z')^2-z'=0ではなく
z"-(z')^2-z'=0
です
yy"-2(y')^2-yy'=0…(1)
y=e^z…(2)
↓とおき両辺をxで微分すると
y'=z'e^z…(3)
↓両辺をxで微分すると
y"=z"e^z+e^z(z')^2
y"={z"+(z')^2}e^z
これに(2)をかけると
yy"={z"+(z')^2}e^{2z}…(4)
(3)の両辺を2乗すると
(y')^2=e^{2z}(z')^2
両辺に2をかけると
2(y')^2=2e^{2z}(z')^2
これを(4)から引くと
yy"-2(y')^2={z"+(z')^2}e^{2z}-2e^{2z}(z')^2
yy"-2(y')^2=z"e^{2z}+e^{2z}(z')^2-2e^{2z}(z')^2
yy"-2(y')^2=z"e^{2z}-e^{2z}(z')^2…(5)
(2)と(3)をかけると
yy'=z'e^{2z}
これを(5)から引くと
yy"-2(y')^2-yy'=z"e^{2z}-e^{2z}(z')^2-z'e^{2z}
これと(1)から
z"e^{2z}-e^{2z}(z')^2-z'e^{2z}=0
両辺をe^{2z}で割ると
z"-(z')^2-z'=0

(b)
v=Ce^x/(1-2Ce^x)ではなく
v=Ce^x/(1-Ce^x)
です
z"-(z')^2-z'=0
↓z'=vとおくと
v'-v^2-v=0
↓両辺にv^2+vを加えると
v'=v^2+v
↓両辺をv^2+vで割ると
v'/(v^2+v)=1
v'/{v(v+1)}=1
v'{1/v-1/(v+1)}=1
v'/v-v'/(v+1)=1
↓両辺をxで積分すると
logv-log(v+1)=x+c
log{v/(v+1)}=x+c
↓C=e^cとすると
v/(v+1)=Ce^x
両辺にv+1をかけると
v=(v+1)Ce^x
v=vCe^x+Ce^x
↓両辺からvCe^xを引くと
v-vCe^x=Ce^x
v(1-Ce^x)=Ce^x
両辺を-Ce^xで割ると
v=Ce^x/(1-Ce^x)

(c)
y=C1・(1-C2e^x)^(-1/2)ではなく
y=C1/|1-C2e^x|
です
v=z'だから
z'=C2e^x/(1-C2e^x)
↓両辺をxで積分すると
z+c=-log|1-C2e^x|
↓両辺にlog|1-C2e^x|-z-cを加えると
log|1-C2e^x|=-z-c
↓C1=e^{-c}とすると
|1-C2e^x|=C1e^{-z}
↓両辺にe^z/|1-C2e^x|をかけると
e^z=C1/|1-C2e^x|
↓y=e^zだから
y=C1/|1-C2e^x|

お礼

大変丁寧な解答ありがとうございます。おかげで理解することができました。