微分方程式

質問

微分方程式の勉強をしているのですが、
本の微分方程式を解く例題で
y''-2y'+y=xe^x
特性方程式s^2-2s+1=0は2重解s=1をもつ。これより補助方程式の一般解は
y=e^x(Ax+B)　である。
与方程式の右辺を微分して生ずる関数は、xe^x,e^xであるが、これらは
上の一般解に含まれている。このような場合特殊解を求めるために、xe^xに特性方程式の解1の重複度2だけxをかけて、
y1=ax^3e^xとおくと
y1'=a(x^3*e^x+3x^2*e^x),y1''=a(x^3*e^x+6x^2*e^x+6xe^x)
これらを与方程式に代入すると6axe^x=xe^xよりa=1/6
よってy=e^x(Ax+B+x^3/6)
とあるのですが、上文にある重複度っていうのがわかりません。
例えば、特性方程式の解が2±i(虚数解)で、これより
補助方程式の一般解はy=e^(2x)(Asinx+Bcosx)
与方程式の右辺がe^(2x)のときの重複度はどうやって考えれば
いいでしょうか？

回答No.2

info22

#1です。
A#1の補足の回答
> では、本の例題だったらxe^x,e^xの両方が重複しているので
> 重複度が2になるということですか？
そういうことです。
どちらの定数倍も重複（重複度２）していて、特殊解として使えないという事ですね。

お礼

なるほど、わかりました。
ありがとうございます。

回答No.1

info22

>与方程式の右辺がe^(2x)のときの重複度はどうやって考えれば
いいでしょうか？
e^(2x) と　2±i(虚数解)
は重複していませんので
特殊解は、ae^(2x)
とおいて
4ae^(2x)-4ae^(2x)+ae^(2x)=e^(2x)
a=1と出てきます。
特殊解は
e^(2x)
となります。
よって
y={Asinx+Bcosx+1}e^(2x)
ですね。
重複度は、特性方程式から出てくる一般解の１つと
一致する
e^(2x)sin(x)　や　e^(2x)sin(x)
が右辺に出てきた場合ですね。
そんな場合（重複度１に相当）は
特殊解を
xe^(2x){asin(x)+bcos(x)}
とおけばいいでしょうね。

お礼

ありがとうございます。
では、本の例題だったらxe^x,e^xの両方が重複しているので
重複度が2になるということですか？