微分方程式が解けません

質問

次の問題がどうしても解けません。
解き方のヒントを教えていただけないでしょうか。
また、今まで「特解」は非斉次微分方程式にしか出てこないと思っていたのですが、
この場合の「特解」とは何のことなのでしょうか。

特解y=xをもつ下記の微分方程式の一般解を求めよ。
(x^2 - 1)y'' - 2xy' + 2y = 0

回答No.3

reiman · ベストアンサー

2階非斉次線型微分方程式
y"+p(x)・y'+q(x)・y=r(x)・・・（１）
は
2階斉次線型微分方程式
y"+p(x)・y'+q(x)・y=0・・・（２）
の恒等的に0でない解が1つ分かると
解ける
（１）の一般解を求めるのに公式など使う必要は無い
（２）の恒等的に0でない1つの解をf(x)とすると
f"(x)+p(x)・f'(x)+q(x)・f(x)=0・・・（３）
となるが
y=f(x)・z・・・（４）
とy→zの変数変換すると
f(x)・z"+(2・f'(x)+p(x)・f(x))・z'=r(x)・・・（５）
となることは（４）を（１）代入して（３）を使って整理すればすぐ分かる
これはz'の1階線型方程式なので簡単に解ける

あとは言わずもがな

回答No.2

Tacosan

名前は知らんが, 「公式が存在する」ことはなぜか知ってる. 前に (諸般の事情で) ロンスキー行列式をちょろっと調べるあいだに見付けた.

もちろんはげしく積分しなきゃならんので, その積分ができるかどうかは知らん.

回答No.1

Tacosan

実は, 斉次線形 2階微分方程式はその 1つの解がわかるともう 1つの解も計算できるんだよね....

補足

それは何か公式のようなものがあるということでしょうか。
できればその解法の名前を教えていただけませんでしょうか。