微分方程式のわかる方お願いします

質問

大学で微分方程式の講義を取っているのですが、
課題で出された問題の中で以下の問題が解けません。
解答できる方回答よろしくお願いします。

問
非斉次形方程式の特解Ypを求め、さらに一般解を求めよ
a)d^2y/dt^2+2dy/dt－8y=e^2t
b)d^2/dt^2－2dy/dt+3y=t^3－t^2

回答No.4

ninoue

次の回答の中の"工業用数学"を是非購入して調べてみて下さい。
"物理数学の直観的方法" 等もお勧めです。

http://okwave.jp/qa/q8475078.html
勉強法の提案（理系大学に入ってから～）

回答No.3

Tacosan

「基本解系の選択で詰まっている」ということですが, a) を例にすると具体的には
・どこまでできていて
・どこで詰まっている
んでしょうか?

回答No.2

info222_

a)d^2y/dt^2+2dy/dt－8y=e^(2t) ...(1)
斉次方程式の
特性方程式：s^2+2s-8=(s+4)(s-2)=0 ⇒ s=-4,2
一般解：Ys=c1e^(-4t)+c2e^(2t) ...(2)
非斉次方程式の特解Ypは
右辺のe^(2t)が(1)の第２項のe^(2x)と一致するケースなので
特解をYp=c3te^(2t)とおくと。これを(1)に代入して
6c3e^(2t)=e^(2t) ⇒ c3=1/6
よって
非斉次方程式の
　特解Yp=(1/6)te^(2t)
　一般解Y=Ys+Yp=c1e^(-4t)+c2e^(2t)+(1/6)te^(2t)
　　(c1,c2は任意定数)

b)d^2/dt^2－2dy/dt+3y=t^3－t^2 ...(1)
斉次方程式の
特性方程式：s^2-2s+3=(s-1)^2+2=0 ⇒ s=1±i√(2)
一般解：Ys={c1cos(√(2)t)+c2sin(√(2)t)}e^t ...(2)
非斉次方程式の特解Ypは
(1)の右辺の形から３次式なので
特解をYp=k3t^3+k2t^2+k3t+k4とおくと。これを(1)に代入して
3k3t^3+(3k2-6k3)t^2+(6k3-4k2+3k1)t+(2k2-2k1+3k0)=t^3－t^2
tの各次の係数を比較して
3k3=1,3k2-6k3=-1,6k3-4k2+3k1=0,2k2-2k1+3k0=0
連立方程式を解くと
k3=1/3,k2=1/3,k1=-2/9,k0=-10/27
よって
非斉次方程式の
　特解Yp=(1/3)t^3 +(1/3)t^2 -(2/9)t -(10/27)
　一般解Y=Ys+Yp={c1cos(√(2)t)+c2sin(√(2)t)}e^t
　　　　　+(1/3)t^3 +(1/3)t^2 -(2/9)t -(10/27)
　　(c1,c2は任意定数)

回答No.1

Tacosan

どこで困っているんでしょうか?

補足

困っていることは、基本解系の選択で詰まっていることです。
基本解系の選択の仕方がイマイチ掴めていません。。