常微分方程式の特殊解の求め方

質問

変数分離形の常微分方程式のうち、境界条件を代入した一般解から特殊解への算定方法がわかりません。次の数値例に基づき解き方のご教示をお願いいたします。

微分方程式：　　ｙ´＋2ｙ＝０（境界条件：y(0)=3）
その一般解：　　　　3＝e^(‐2x+c)
一般解に境界条件を代入：3=e^c
特殊解：　　　　　　ｙ=3e^-2x

回答No.3

jamf0421 · ベストアンサー

蛇足ですが、y'+2y=0は斉次の微分方程式ですが、変数分離して積分で容易に解ける形ですね。
dy/y=-2dx
から
lny=-2x+C、即ち
y=e^(-2x+C)=C'e^(-2x)
が一般解の形です。これにx=0,y=3を代入すると
3=C'e^0=C'
ですから
y=3e^(-2x)
です。（No1さんの繰り返しですね。）

一般解(general solution)、特殊解(particular solution)と言う場合、
y'+2y=F(x)
の形の方程式をの解を、y'+2x=0の一般解とy'+2x=F(x)の特殊解の重ね合わせで解にする、という言い方をします。
たとえばF(x)=e^xならばy'+2x=0一般解がy=Ce(-2x)で、y'+2x=e^xの特殊解がy=(1/3)e^xで全体として解はy=Ce^(-2x)+(1/3)e^xというイメージで考えておりました。よって私もNo2さん同様に実は特殊解ということばに引っかかったのですが、改めて微分方程式の本をみたら、単にCに特定の数を入れるのを特殊解というようですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

y=e^(-2x+C)=C'e^(-2x)
このように式が整理できるとは知りませんでしたので、
参考になりました。

回答No.2

info22

特性方程式は
s+2=0
となる。これを解いて
s=-2
したがって、微分方程式は斉次方程式なので
微分方程式の一般解は
y＝e^(‐2x)+ C (Cは積分定数）…(1)
で与えられる。
境界条件を代入して
3=e^0+C=1+C
これから
C=2
(1)に代入して
y=e^(‐2x)+2 …(1)

これが答えになります。

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>その一般解：　　　　3＝e^(‐2x+c)
間違い。

>その一般解に境界条件を代入：3=e^c
間違っている解に境界条件を入れても意味がない。

>特殊解：　　　　　　ｙ=3e^-2x　
特殊解といわない。
もとの微分方程式が線形斉次微分方程式なので
特殊解は考える必要はありません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

お礼

質問者の数学レベルを超越していますが、詳しい回答ありがとうございます。
一般解については、ご指摘のとおり誤りであり、正しくは、　　　　　ｙ＝e^(‐2x+c)であることを補足させていただきます。

回答No.1

spring135

一般解:y=a・e^(-2x)
一般解の内、境界条件の内、境界条件を満たすものは
3=a・1
よって
　y=3・e^(-2x)
これが特殊解です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

境界条件を満たすものは
3=a・1
となるのですか？