微分方程式について

質問

微分方程式について

y"-y'-2y=3e^2xの微分方程式を解け

とあるのですが…
計算をして、特殊解ypを求めるときに

yp=Ce^2x
とおくと、
yp'=2Ce^2x
yp"=4Ce^2x

この３つを微分方程式の左辺に入れるとCが消えてしまって特殊解が求めれません。
どう操作をすれば微分方程式が求められるのかをご教授お願いします。

回答No.3

alice_44

y = Ce^(2x) の C を x の関数とみなして
y" - y' - 2y = 3e^(2x) へ代入し、
C についての微分方程式を得ればよいのです。

y = Ce^(2x)
y' = C'e^(2x) + 2Ce^(2x)
y" = C"e^(2x) + 4C'e^(2x) + 4Ce^(2x)
を微分方程式の左辺に入れると、
C" + 3C' = 3。
これを解いて、
C = x + Ae^(-3x) + B　ただし A,B は定数。

C が定数のまま代入したのでは、左辺=0 となるのは当然です。
斉次形 y" - y' - 2y = 0 の一般解を y = Ce^(2x) と書く
ことから出発したのですから。

回答No.2

spring135

y"-y'-2y=0　　　(1)
の一般解は
y=ae^(2x)+be^(-x)　　(2)
これに
y"-y'-2y=3e^2x　(3)
の特殊解ypを加えれば
(3)の一般解が得られます。
しかし、この場合、(2)に(3)の非斉次項e^2xが入っているため
yp=Ce^2x　　(4)
と置いたのでは逃げられてしまいます。

このようなときは
yp=Cxe^2x　　(5)
と置きます。
これを(3)に代入するとｃ＝1となり
yp=xe^2x　　　(6)
が特殊解となります。よって
y==ae^(2x)+be^(-x)+xe^(2x)

(5)の置き方は
y''-2y'+y=f(x)
のように特性根が重根1を有する場合にも使えます。
理由は参考書を参考のこと。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。おかげで出来ました。

回答No.1

OKXavier

ヒント

>yp=Ce^2x
>とおくと、

yp=ue^2x
とおいて、u を求める。