微分方程式の一般解

質問

微分方程式の一般解を求める問題なのですが、どうしてもよく分かりません。

ｙ'6＋4ｙ'2＝40ｘ＾3　　(ここで'○は微分の回数を示すとします。また、以下ではＤ＝ｄ/ｄｘのことです)

同時方程式(Ｄ＾6＋4Ｄ＾2)ｙ＝Ｄ＾2(Ｄ＾4＋4)ｙ＝Ｄ＾2｛(Ｄ＾2＋2)＾2－4Ｄ＾2｝ｙ＝Ｄ＾2(Ｄ＾2＋2＋2Ｄ)(Ｄ＾2＋2－2Ｄ)ｙ＝Ｄ＾2｛(Ｄ＋1)＾2＋1｝｛(Ｄ－1)＾2＋1｝ｙ＝0

の基本解は｛1、ｘ、ｅ＾(－x)cosｘ、ｅ＾(－x)sinｘ、ｅ＾xcosｘ、ｅ＾xsinｘ｝

次に特殊解Ｙ(ｘ)を求める。

非同次項Ｒ(ｘ)＝40ｘ＾3は同時方程式40Ｄ＾4ｙ＝0の解だから、
特殊解Ｙ（ｘ）の式Ｙは同時方程式
40Ｄ＾4・Ｄ＾2｛(Ｄ＋1)＾2＋1｝｛(Ｄ－1)＾2＋1｝ｙ＝0の解である。

この基本解｛1、ｘ、ｘ＾2、ｘ＾3、ｘ＾4、ｘ＾5、ｅ＾(－x)cosｘ、ｅ＾(－x)sinｘ、ｅ＾xcosｘ、ｅ＾xsinｘ｝から与式の基本解を除いたｘ＾2、ｘ＾3、ｘ＾4、ｘ＾5の一次結合として
Ｙ（ｘ）＝Aｘ＾2＋Bｘ＾＋Cｘ＾4＋Dｘ＾5とおく。
与式の左辺に代入…

と続いていくのですが、どうにもしっくりきません。
答えも
ｙ＝(20/3)x＾3＋c1＋c2x＋e＾(x/√2)｛c3cos(x/√2)＋c4sin(x/√2)｝＋e＾(－x/√2)｛c5cos(x/√2)＋c6sin(x/√2)｝

となり、私の解からでは到底結びつくとは思えないです。
気になるのが
「非同次項Ｒ(ｘ)＝40ｘ＾3は同時方程式40Ｄ＾4ｙ＝0の解だから」
としていますが、本当にこれで良いのか自信もありません。
もし間違えていたら解説をお願いします。
また、他に違うというようなところがあったら指摘してください。
回答、よろしくお願いします。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に
この場合の解の求め方は、
ｙ'6＋4ｙ'2＝40ｘ ←(答えが正しいとすると）
(D＾6+4D＾2)y=40ｘ
D＾2(D＾4+4)y=40ｘ
(D＾4+4)y=∬40ｘdx
(D＾4+4)y=(20/3)x＾3+c1+c2x
とすればよいのでは。
回答は、y=(20/3)x＾3+c1+c2x+・・・
の形になりますね。微分方程式は形式によって解の出し方が変わりますので注意しないとね。

回答No.5

mmky

追伸まで
参考までに特別解の求め方を最後まで書いておきます。
ｙ'6＋4ｙ'2＝40ｘ ←(この場合で）
(D＾6+4D＾2)y=40ｘ
D＾2(D＾4+4)y=40ｘ
(D＾4+4)y=∬40ｘdx
(D＾4+4)y=(20/3)x＾3+c1+c2x
η(x)=(1/4){1/(1+D＾4/4)}{(20/3)x＾3+c1+c2x}
=(1/4){1-D＾4/4+(D＾4/4)＾2-・}{(20/3)x3+c1+c2x}
=(1/4){(20/3)x＾3+c1+c2x }
=(5/3)x＾3+C1+C2x
(註：Dは微分演算子だから級数展開した時、級数の第２項目以降はxが3乗べきまでだから0になる故｝
それから一般解の求め方の例は、
(D＾4+4)y=(20/3)x＾3+c1+c2x
ここで、
(D＾4+4)y=0 と置けば、D=±2i
から, D=±(1±i)
の4つの虚数根がでますね。
{(1+i)＾2=1+2i-1=2i, (1-i)＾2=1-2i-1=-2i}
だから一般解は公式を使えば、
y=e＾x(c3cosx+c4sinx)+e＾-x(c5cosx+c6sinx)
だから解は、nakaizuさんのご指摘のように、
y=(5/3)x＾3+C1+C2x+e＾x(c3cosx+c4sinx)+e＾-x(c5cosx+c6sinx)
の形式になりますね。
そのほか、一般解は例えば、4つの虚数根、±(1±i) を直接使って線形接続すれば、
y=C1e＾(1+i)x+C2e＾-(1+i)x+C3e＾(1-i)x
+C3e＾-(1-i)x
のように書くことも出来ますね。実数部と虚数部に分けて係数をうまくとると公式解のようにsin,cosであらわすことが出来るはずですね。
参考程度に

お礼

回答ありがとうございます。
お礼が遅れてしまい申し訳ありません。

細かい解説ありがとうございますm(_ _)m

D＾2(D＾4+4)y=40ｘ
(D＾4+4)y=∬40ｘdx
この解き方はなるほどですね。他の問題にも使ってみます。

何度も補足ありがとうございました。

回答No.4

nakaizu

入力ミスがありました。
y'6+4y'2=40x^3
の解は
y=x^5/2+c1+c2x+e^x(c3sin x+c4cos x)+e^(-x)(c5sin x+c6cos x)
です。

回答No.3

mmky

#1のmmkyです。#2のnakaizuさんのご指摘どおりですね。
ｙ'6＋4ｙ'2＝40ｘ　の場合、正しくは、
y=(5/3)x＾3+c1+c2x+・・・
でしたね。 ごめん。

回答No.2

nakaizu

求め方はそれでいいと思いますよ。多少、回りくどいことをしていますが。

ただ、解答が正しいとすると元の方程式は
y'6+y'2=40x
だったはずです。
y'6+4y'2=40x^3
の解は
y=x^5/2+c1+c2x+e^x(c3sin x+c4cos x)+e^(-1)(c5sin x+c6cos x)
となります。
問題の取り違えでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。

う～ん、問題が間違っているみたいですね…
どう考えても、上のような答えにはならないですよね
先生に指摘してみたいと思います。

ありがとうございました。