微分方程式の解 と 計算過程の積分

質問

微分方程式を解く問題で以下までできたのですが、そこからわからないので教えていただけないでしょうか

問題
『次の微分方程式の一般解を求めよ』
y'-2xy=xe^(-x^2)

《私の解答》
y' - 2xy = xe^(-x^2)
y'e^(∫-2x dx) - 2xye^(∫-2x dx) = xe^(-x^2)e^(∫-2x dx)
(d/dx)(ye^(∫ -2x dx)) = xe^(-x^2)e^(∫-2x dx)
ye^(∫ -2x dx) = ∫{xe^(-x^2)e^(∫-2x dx)}dx
ye^(-x^2) = ∫{xe^(-x^2)e^(-x^2)}dx
y = e^(x^2)∫xe^(-x^2)^2 dx
y = e^(x^2)∫xe^(x^4) dx

ここまでここから先ができません
部分積分をやろうとしましたが

∫e^(x^4)dx

がどうしてもわかりません
初等関数で表せるのでしょうか？
またこの問題はこの解法で解くことができるのでしょうか？

以上よろしくお願いします

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

途中の計算が間違えています。
xe^(-x^2)*e^(-x^2)=xe^(-2x^2)
です。

お礼

回答ありがとうございます。
確認したはずだったのですが思い込みって怖いです。というか、質問する前に確認すべき最低限のところですよね（言い訳になってしまいますが何度も確認したつもりですが気付きませんでした…）

あとは瞬間積分？できる形なので
　(-1/4)*∫-4xe^(-2x^2)dx
として計算してやればいいんですよね？

参考までに
　∫e^(x^4)dx
は初等関数の範囲で積分可能なのでしょうか？

回答No.2

Mr_Holland

＃１さんのご指摘の通りです。
　あとは、普通に積分できるはずです。

　ちなみに、この手の微分方程式は、定数変化法によって求めるのが一般的だと思うのですが、ご存じですか？

　定数変化法の場合、右辺を０と置いて変数分離でｙ＝Ｃe(x^2)を求めた後、定数Ｃをｘの関数C(x)として　C(x)の微分方程式から、y(x)の一般解を求めるものです。

http://www.tohtech.ac.jp/~comms/nakagawa/laplacetrans/Laplace1_c1.htm

お礼

普通は定数変化法なのですね、ありがとうございます。
定数変化法も授業でならったのですが
　y' + p(x)y = q(x)
型だったので、両辺にe^∫p(x)dxをかけて解く解法に固執してました…

このあと定数変化法でも解いてみて答えが一致するか（しなければおかしいのですが…）試してみます。