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この問題の答え教えてください!!
数学、平面図形に関する問題です。 円の弧ABの中点をCとし、Bにおける接線と直線ACとの交点を Dとすれば、直線BCは∠ABDを二等分することを証明せよ。 面白味のない質問でスミマセン(汗 普通の学校の宿題ですがサッパリ分かりやしません(-_-;) どうかみなさんのお知恵をお借りしたい お願いしますm(__)m
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>円の弧ABの中点をCとし、Bにおける接線と直線ACとの交点を > Dとすれば、直線BCは∠ABDを二等分することを証明せよ。 円の中心をO,直線ABとOCの交点をEとする。 弧ABの中点がC より、弧AC=弧BCだから、∠AOC=∠BOC=a ……(1) とおくと、 ∠ABCは弧AC上の円周角、∠AOCは弧AC上の中心角だから、 ∠ABC=(1/2)∠AOC=(1/2)a ……(2) △OABで、OA=OB(半径)だから、二等辺三角形で、 (1)より、OCは∠AOBの二等分線だから、 底辺ABの垂直二等分線でもある。よって、∠OEB=90° △OBEで、(1)より、∠BOE(=∠BOC)=aだから、 a+∠OBE=∠BOE+∠OBE=180°-∠OEB=180°-90°=90°……(3) BDは、円の接線だから、OB⊥BDより、∠OBD=90° ∠OBE+∠ABC+∠CBD=∠OBD=90°だから (2)(3)より、∠OBE+(1/2)a+∠CBD=a+∠OBE よって、(1/2)a+∠CBD=aだから、∠CBD=(1/2)a ……(4) (2)(4)より、∠ABC=∠CBDだから、 直線BCは、∠ABDの二等分線。 よって、直線BCは∠ABDを二等分する。 でどうでしょうか? 図を描いて確認してみてください。
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- 178-tall
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本題へ。 ∠CBD = π/2 - φでした。 ∠CBA = π- (π/2 + φ) = π/2 - φ これならいつでも成立しそう。
- 178-tall
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>「眉唾」しながらご覧ください。 何と! このときだけ「直線 BC が△ABDを二等分する」 のほうを考えてました。 失礼。
- 178-tall
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>円の弧ABの中点をCとし、Bにおける接線と直線ACとの交点を Dとすれば、直線BCは∠ABDを二等分することを証明せよ。 これは難解…というか、ほとんど「不可解」。 いたし方なく「成立条件」を探ります。 「眉唾」しながらご覧ください。 題意が成立つとき、点 C が AD の中点。つまり、△BCD は二等辺 (BC = CD) 。 ∠OCA = φ として、∠BCD = π- 2*φ 、また∠CBD = π/2 - φ 。 △BCD が二等辺なら ∠CDB = ∠CBD だから、△BCD の内角和は 2π- 4*φ = π、つまり φ = π/4 。 このときだけ「直線 BC が∠ABDを二等分する」らしい。 略図を描いてみると…ここまでは確かみたいです。
- yyssaa
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>接弦定理により、∠ABD=弧ABの円周角であり、弧AC=(1/2)弧AB だから∠ABC=弧ACの円周角=(1/2)弧ABの円周角=(1/2)∠ABD (証明終わり)
- Tacosan
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えんしゅうかくとかいってみる