数学I 三角比の問題

質問

基本的な問題ばかりですが回答が手元になくて困っています。多いですがよろしくお願い致します。

１．△ABCの外接円をOとする。円Oの点Aでの接線をlとし、l上の点DをBDとACが平行になるようにとる。さらに AB=3 , AC=4 , AD=15/4とする。
(1)△ABCと△BDAが相似になることを示せ。
(2)BCを求めよ。
(3)円Oの半径を求めよ

２．四角形ABCDは∠D=120°, AB=BC=CA=3を満たす。対角線AC,BDの交点をPとする。
(1)この四角形は円に内接することを示せ。
(2)∠ADBを求めよ。
(3)PB：PD=2のとき、PAを求めよ。

３．△ABCでABの中点をD、ACの中点をEとし、BEとCDの交点をGとする。次のことを証明せよ。
(1)△ABCと△ADEは相似
(2)△DEGと△CBGは相似
(3)BG：GE=2：1

４．△ABCでAB上に点Dがあり、AD=AC=BC=1 , BD=CDとする。
(1)△ABCと△BCDが相似なことを証明せよ。
(2) x = BDを求めよ。

５．△ABCで∠Aの二等分線とBCの交点をDとする。また、Cを通るABに平行な直線と∠Aの二等分線との交点をEとする。
(1)△ABDと△ECDが相似なことを証明せよ。
(2)AB：BD＝AC：CDを証明せよ。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞数学I　三角比の問題

＞基本的な問題ばかりですが回答が手元になくて困っています。多いですがよろしくお願い致します。
中学の内容だけで解けます。
この問題で、図を正確に描くのは意外に難しいですが（1と4とか）、図がないと解けないので、
大体でもいいから必ず図をかいて考えてください。

＞１．△ABCの外接円をOとする。円Oの点Aでの接線をlとし、l上の点DをBDとACが平行になるようにとる。
＞さらに AB=3 , AC=4 , AD=15/4とする。
＞ (1)△ABCと△BDAが相似になることを示せ。
AC//BDより、錯角が等しいから、
∠BAC＝∠DBA
接弦定理より、
∠ACB＝∠BAD
よって、2つの角が等しいから、
△ABC∽△BDA、

＞ (2)BCを求めよ。
(1)より、BC：DA＝AC：BAより、BC：(15/4)＝4：3
よって、BC＝(15/4)・4・(1/3)＝5

＞ (3)円Oの半径を求めよ
AB=3 , AC=4と(2)より、△ABCはBCが斜辺の直角三角形だから、
∠BAC＝90°より、弧BC上の円周角と考えると、外接円Oの直径はBC
だから、半径＝BC/2＝5/2

＞２．四角形ABCDは∠D=120°, AB=BC=CA=3を満たす。対角線AC,BDの交点をPとする。
＞ (1)この四角形は円に内接することを示せ。
AB=BC=CAだから、△ABCは正三角形。よって、∠A＝∠B＝∠C＝60°
∠D=120°より、四角形ABCDの向かい合った角の和∠B＋∠D＝60°＋120°＝180°
だから、四角形は円に内接する。
（円は、△ABCの外接円。）

＞ (2)∠ADBを求めよ。
弧AB上の円周角だから、∠ADB＝∠ACB（∠C）＝60°

＞ (3)PB：PD=2のとき、PAを求めよ。
問題の意味が分かりません。(問題を確認してください）
(2)までの結果からは、
PB:PD＝3：1，PA＝3/2　です。

＞３．△ABCでABの中点をD、ACの中点をEとし、BEとCDの交点をGとする。次のことを証明せよ。
＞ (1)△ABCと△ADEは相似
∠Aは共通
AB:AD＝AC：AE＝2：1
よって、２辺の比とはさむ角が等しいから、
△ABC∽△ADE

＞ (2)△DEGと△CBGは相似
(1)より、∠ABC＝∠ADEより、同位角が等しいから、BC//DE
これから、２組の錯角が等しいから、
∠GDE＝∠GCB，∠GED＝∠GBC
よって、2つの角が等しいから、
△DEG∽△CBG

＞ (3)BG：GE=2：1
(2)より、BG：GE＝BC：DE
(1)より、BC：DE＝AB:AD＝2：1
よって、BG：GE=2：1

＞４．△ABCでAB上に点Dがあり、AD=AC=BC=1 , BD=CDとする。
＞ (1)△ABCと△BCDが相似なことを証明せよ。
∠Bは共通　……(ア)
AC＝BCより、△ABCは二等辺三角形　だから、
∠B＝∠BAC
BD＝CDより、△BCDは二等辺三角形　だから、
∠B＝∠BCD
よって、∠BAC＝∠BCD　……(イ)
(ア)(イ)より、２つの角が等しいから、
△ABC∽△BCD

＞ (2) x = BDを求めよ。
AB＝AD＋BD＝1＋x
(1)より、AB：BC＝AC：BDだから、(1＋x)：1＝1：x　より、
x(1＋x)＝1　x^2＋x－1＝0
x＞0より、
よって、x＝(-1＋√5)/2

＞５．△ABCで∠Aの二等分線とBCの交点をDとする。また、Cを通るABに平行な直線と∠Aの二等分線との交点をEとする。
＞ (1)△ABDと△ECDが相似なことを証明せよ。
AB//CEより、錯角が等しいから、
∠ABD＝∠ECD
対頂角が等しいから、
∠ADB＝∠EDC
よって、２つの角が等しいから、
△ABD∽△ECD

＞ (2)AB：BD＝AC：CDを証明せよ。
(1)より、AB：EC＝BD：CD　……(ウ)　∠BAD＝∠CED　……(エ)
BCは∠Aの二等分線だから、
∠BAD＝∠CAD　……(オ)
(エ)(オ)より、∠CAD＝∠CEDより、△ACEは二等辺三角形
よって、AC＝EC
これと、(ウ)より、
AB：AC＝BD：CD
AB・CD＝AC・BD
AB・CD/BD・CD＝AC・BD/BD・CDより、
AB/BD＝AC/CD
よって、AB：BD＝AC：CD

図を見ながら確認してみてください。
（証明は、大体の流れだけなので、きちんと書き直したほうがいいと思います。
　他にも方法はあると思います。）
問題が多すぎるので、次回からは半分ぐらいにずつに分けて提示するといいと思います。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ないです。
とてもわかりやすく教えていただいて
本当にありがとうございます。
しっかり図を書いて解いていきます。

回答No.1

Subaru_Hasegawa

教科書読め。