中3数学、解き方を教えて下さい

質問

図のように、6の線分ABを直径とする半円Oの弧上に点Cをとる。弧BCの中点をD、線分ADと角ACBの2等分線との交点をEとする。点Cが弧AB上をAからBまで動くとき、点Eのえがく線の長さを求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

今、Oを通ってABに垂直な線を図の下に伸ばし、その半直線上の点でOからの距離がOAと等しい点（要は、ACDBを通る円と、ABの垂直二等分線との交点で、今の図の下の方）をQとする。ACDBQは全て同一円上にある。

今、角QABは45度。よってQとCとを結ぶと、角QCBは円周角の定理から45度である。一方、角ACBは直角で、CEは角ACBの二等分線だから、角ECBは45度である。よって、『CEの延長はQを通る』。

さて、色々頑張ってみると、この時実は三角形QAEが実は角QAE=角QEAの二等辺三角形であることが分かる（等しい角度を色々見つけて頑張ってみよう！！！！）。従って、EはQを中心とする半径QA (=3√2）の円上AからBまで動き、その軌跡は扇形となる。この時の中心角は角AQBで90度、従ってEの長さは半径QA (=3√2）の円周の1/4である(3√2/2)πである。

お礼

ありがとうございました。おかげさまで理解する事が出来ました。またよろしくお願いします。

回答No.2

tmpname

この時実は三角形QAEが実は角QAE=角QEAの二等辺三角形であること：
ABとCEの交点をPとする。

線分ODを引き、角BOD = X とする。Dの取り方（Dは円弧BDCの中点）から、角DOC = X。よって角BOC = 2Xで、三角形COBはOB=OCの二等辺三角形だから、角OBC = 90度-X。
角PCB = 45度だったから、角CPB = 45度 + X。
弧DBに対する円周角の関係に注目して、角BAD = (1/2)角BOD = (1/2)X。三角形AEPの外角に注目して、
角AEP = 角EPB - 角EAP = 45度 + (1/2) X。

一方、角QAP = 45度だから、角QAE = 45度 + (1/2)Xとなって、角QAE = 角AEPとなる。