弧の中点

質問

△ABCの外接円の弧BCと点Pで、2辺AB,ACと点D,Eで接する円をえがくと、直線DEは△ABCの内心を通る。このことを証明する途中で、弧ABの中点を求めるのですが、なぜ中点になるかが、わかりません。
略解では、Pにおける共通接線をPTとし、PDがふたたび△ABCの外接円と交わる点をMとし、点Mにおける接線をMSとすると、∠SMP=∠TPM=∠TPD=∠BDP
つまりMS//AB　ここからがわからないところです。よって点Mは弧ABの中点で、MCは∠ACBを二等分する。・・・自分でインターネットを使って調べたところ、接する2つの円の相似の中心は接点であると、円O上に点A,B,Pがあり。別の円O'が線分ABと点Qで接し、円Oと点Pで接するとき、PQと弧ABの交点Mは弧ABの中点になっている。という定理を見かけましたが、円O'の中心O'、円Oの中心Oとして、QO'とMOの平行から、直線OMはABに垂直になることがわかりません。垂直ならば、点Mは弧ABの中点というのはわかります。平行から弧ABの中点を導く点は、似ていると思うのですが、これら以外の方法でもいいので、MS//ABよって点Mは弧ABの中点を教えてください。お願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

外接円の弦ABと平行で，点Mで外接円と接する直線MSがある状況です。
従って角SMB=角MBAです。
さらに三角形ABMを考えると，接弦定理によって角SMB=角MABです。
つまり角MBA=角MABですから三角形ABMは2等辺三角形であって線分MA=線分MBであり，弧MA=弧MBでもあります。

お礼

簡潔な解説、ありがとうございます。

回答No.3

yougamaster

＞最後は、同じ円周角(∠MCA=∠MCB)に対する弧の長さは同じ。で合っていますか？

その通りです。
１つの円において、 円周角が等しければ対応する弧の長さも等しい から
弧AM=弧BMです。
この表現にするべきでした！

お礼

補足コメントに答えて下さり、ありがとうございます。

回答No.2

yougamaster

まず接弦定理を押さえておきます。
添付された図において、小円の弦PDと、その接点Pにおける接線PTが作る∠DPTの大きさはその角の内部に含まれる弧PDに対する円周角∠PEDに等しい。というものですね。
｛表現は正確ではないのですが、分かりやすく言えば（接線と弦が作る角）＝（弦に対する円周角）です。｝

まず∠SMP=∠TPM=∠TPD=∠BDPから

1つの円に対して円の外部の1点から異なる接線を2本引くことができ、新しくできた2つの接点を結んで作った三角形は２等辺三角形になりますね。アップされている図においてPTとSMを延長して、新しくできた交点をQとすれば対称性から新しくできた三角形QMPは、∠QMP=∠QPMの２等辺三角形です。
すなわち　∠SMP=∠TPM　

∠TPM=∠TPD　これは説明するまでもないですよね！

∠TPD=∠BDP　これもBDを延長してTPとの交点（仮にRとします）をつくれば
上と同じで∠RPD＝∠RDPの２等辺三角形RPDができますから問題ないと思います。

よって∠SMP=∠BDP
同位角が等しいからMS//DB　すなわち　MS//AB　と分かります。

次にMS//ABよって点Mは弧ABの中点　についてです。

平行線の錯角だから∠SMB=∠MBA
大円の弧AMに対する円周角だから∠MBA＝∠MCA　（円周角の定理）
よって∠SMB=∠MCA

また、（接線SMと弦MBが作る角）＝（弦MBに対する円周角）だから∠SMB=∠MCB　…接弦定理

以上から　（∠SMB)=∠MCA=∠MCB
MCは∠ACBを二等分する事が分かったので、点Mは弧ABの中点ということになります。

もし、わかりにくければ補足コメントをくださいね！

お礼

詳しい解説、ありがとうございます。

補足

最後は、同じ円周角(∠MCA=∠MCB)に対する弧の長さは同じ。で合っていますか？