幾何の問題です

質問

初等幾何の問題が出来ずに困っています。

円Ｏ外の点Ｐからこの円に引いた２本の接線の接点をそれぞれＡ、Ｂとする。優弧ＡＢ上に２点Ｃ、Ｄを取り、ＡＣとＢＤの交点をＱ、ＡＤとＢＣの交点をＲとする。
このとき、３点Ｐ、Ｑ、Ｒは一直線上にあることを証明せよ。

結構考えたのですがわかりません。教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いいたします。

回答No.2

hh69 · ベストアンサー

難しい問題ですね。僕は理系の大学院生なんですが、うちの研究室でもまだ誰も解けていません。
そこで思ったのですが、この問題、本当に解ける問題なんでしょうか？確かに直感的には一直線になりそうなんですが。
この問題がどこに載っていた問題なのか、教えていただけますでしょうか？

補足

レスありがとうございます。簡単な設定なのに、ほんとに解けないんです。ちなみに、恥ずかしながら、僕は数学科の修士卒です…。笑

どこに載っていたかというと、「初等数学」というすごくマイナーな雑誌にあった記事で紹介されていた定理の、ごくごく一部です。実はもっと多くの点が一直線上にある、という定理なのですが、その一部だけを抜き出すとこの問題のようになるので、これだけで証明できるかな、と思って考えていたのです。

今はちょっと時間が無いのですが、時間があるときに元の問題を載せたほうがよさそうですか？もしかしたらその元の問題の設定のような補助線を引かないと解けないのかもしれません。もちろん、元の問題は正しく、その「抜き出し方」も正しいので、ここで質問している内容は正しいはずです。

回答No.7

thetas

No.1です
かなり遅くなりましたけれど、フォントのことに気づかず失礼しました。
点の取り方によって、数種類の形になっていますが、どの場合でも一直線になりそうです（見た目でいえば、ですが）

ただ、いまだにうまくいきません。
最初のことを伝えるためだけに、回答しました。

お礼

コメントありがとうございます。

ついに出来ました！！久しぶりに幾何で感動しました。

おっしゃる通り点の取り方によって図が変わりますが、適当に書いてください。

ＣとＤにおけるそれぞれの接線の交点をＳとおきます。主役は線分ＰＳです。
ＢＤとＡＣが、線分ＰＳをそれぞれ何対何に内分（外分）するかをメネラウスで計算することにより、Ｐ、Ｓ、Ｑが一直線上にあることが分かります。
つぎに、ＢＣとＡＤが線分ＰＳを何対何に内分（外分）するかをメネラウスで計算することにより、Ｐ、Ｓ、Ｒが一直線上にあることが分かります。

以上より、Ｐ、Ｑ、Ｒ、Ｓが一直線上にあることが分かります。

メネラウスのところがちょっと難しいですが・・・。

回答No.6

okhiro

解答を思いついてから指摘しようと思っていたのですが、時間が無いので、問題についてのみご指摘させていただきます。点Ｒについてですが、ＡＤとＢＯの交点と書いてあるように見えますが、ＡＤとＢＣの交点の間違えではないでしょうか。質問者の方はきちんとＢＣと書かれたのかもしれませんが、ＢＯに見えてしまいます。

補足

その通りです。点ＲはＡＤとＢＣの交点です。
パソコンのフォントによって見えにくかったりするのかもしれません。
引き続きよろしくお願いいたします。

回答No.5

okhiro

直線ＰＯ上にＱがくるように、Ｃ，Ｄの位置を定められます。（ただし、ＡＤが直径にならないようにとる）このとき明らかにＰ、Ｑ、Ｒは同一直線上にはありません。しがたって問題の設定に不備があると思われます。

補足

直線ＰＯ上にＱがくるようにＣ，Ｄの位置を定めると、直線ＰＯに関してＢＤとＡＣが対称になります。このことから直線ＰＯに関してＢＣとＡＤも対称になり、その交点であるＲは直線ＰＯ上にあることになると思うのですが。
いかがでしょうか。

回答No.4

marin456

座標設定しθ１～３を定めて頑張って計算してもできないんですか？

回答No.3

hh69

ご返事ありがとうございます。
やっぱり中学生の問題集で出るようなレベルの問題ではないんですね。
すみません。僕はギブアップです。

回答No.1

thetas

条件の見直しをお願いします
（この条件で、証明すべき状態の図をかくことができませんでした）