解けそうで解けない図形の問題

質問

高校のとき、数学教員室の前に「暇な人はやってみてください」という形で図形の問題が書かれていました。いろいろな部分の角度は求まるのですが、肝心な角度は一向に求まる気配がありません。できれば、高校までで習う知識で教えてください。
以下問題です。（説明が下手なので、分らないければ補足要求してください）

三角形ABCがある。AB=ACであり、角Aは20°である。
辺BCとのなす角が50°で、かつ辺BCとはBで交わる直線の辺ACとの交点をDとする。（角DBC=50°）
また辺BCとのなす角が-60°で、かつ辺BCとはCで交わる直線の辺ABとの交点をEとする。（角ECB=60°）
このとき角DECを求めよ。

回答No.1

fronteye · ベストアンサー

これは有名な問題で、どんな定理を使うのかなかなか気が付きません。

大雑把な説明です。
辺ＡＢ上に∠ＰＣＢ＝20°となるような点Ｐをとる。
すると、
ＢＣ＝ＰＣ＝ＰＤ＝ＰＥ
∠ＣＰＤ＝60°
がいえる。
つまり、点Ｐは三角形ＣＤＥの外接円の中心となる。
弧ＣＤに対する中心角が∠ＣＰＤ＝60°なので
同じ弧に対する円周角である∠ＣＥＤは、その2分の1で
∠ＤＥＣ＝30°

ブラウザによってはＣがＯに見えるかもしれませんが、全部Ｃです。

お礼

おぉ、解けました。
けれど、
>>辺ＡＢ上に∠ＰＣＢ＝20°となるような点Ｐをとる
これって、普通、思いつかないと思うんですが……（^－^;）
皆さん、普通に思いつくんでしょうか

回答No.2

fronteye

＃１です。

＞皆さん、普通に思いつくんでしょうか

まあ、思いつく人は少ないでしょう。
私も高校時代この問題を友人から出題され、数日考えたが解けず結局図書館で調べました。

この補助線を引いた人はおそらく、ＡＥ＝ＥＣ、ＢＣ＝ＣＤはすぐに分かるので「もうひとつ二等辺三角形を作ったらどうなるだろう」といった発想からではないでしょうか。

お礼

なるほど。すっきりしました
回答ありがとうございました