ベクトルの問題がこの結果になるのはどうしてでしょう

質問

三角形ABCにおいて, AC=b AB=c とし、BCの中点をM, 角BACの二等分線と辺BCの交点をDとする。
また直線ADに点Bからおろした垂線の足をEとし、直線AMと直線BEの交点をFとする。
この時, ベクトルOF, ベクトルDFをベクトルAB, ベクトルACを用いて表せ。
という問題で、解くには解けたのですが、その結果として、直線ACと直線BFの交点をGとすると
(1)BD：DC=ｃ：ｂ, MがBCの中点だったのが、AD、AMの延長線とAGの交点では
BF：FG=ｂ：ｃ, EがBG中点と対応が逆転しました。また最終的に
(2)AB//DFとなります。
このような結果になるのはなぜでしょうか？こうなる理由があると思うのですがいまいちつかみきれません。
よろしくお願いします！

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

おそらくベクトルの問題として解くと、
＞BF：FG=ｂ：ｃ, EがBG中点と対応が逆転しました。
ということになるという意味だと思うのですが、合っていますか？ ＾＾；

そして、「こうなる理由」というのは「図形的な理由」と解釈して、以下に中学数学レベルでの導出を。

・まず、EがBGの中点だというのは、意外とあっさりわかってしまいます。
というのは、三角形ABGにおいて、AEは「角の二等分線」であり、かつ「点Aから降ろした垂線」でもあります。

よって、三角形ABEと三角形ACEが合同となり、
点Eは辺BGの中点、三角形ABGは二等辺三角形であることがわかります。

・あとは、BF：FGの辺の比についてですが、点Bから辺AGに平行な直線を引きます。
その直線と直線AFの交点を点Hとします。
すると、BHとAGが平行で、BM＝ CMとなっているので、
BH＝ AC＝ bとなります。

あとは、三角形BHFと三角形GAFの相似を考えれば、BF：FGの比が求まります。

「点Bから辺AGに平行な直線を」というのは、角の二等分線を扱うときによく用いられる補助線ですね。＾＾

回答No.2

noname#152422

> ベクトルOF

Oはどこに？

> AD、AMの延長線とAGの交点

Aのこと？？ではないですよね？

一旦締め切って間違いを修正してから再投稿した方がいいと思います。

回答No.1

nag0720

ベクトルOFとはどこのことでしょうか？

＞このような結果になるのはなぜでしょうか？

どんな計算をしたか分かりませんが、示された条件だけでは、
BF：FG=ｂ：ｃ
EがBG中点
AB//DF
を導くことはできません。

どこかに計算ミスがあるんでしょうが、計算過程を示してくれないことにはどこが間違っているか答えようがありません。