中学 数学 図形の問題

質問

アメリカの中学校の宿題です。

三角形ABCにおいて、BCの中点をMとすると、
　　∠BAM＝２∠MAC
になります。
点Bを通り、ABと垂直な直線と直線AMの交点をDとすると、
　　AD＝２AC
となることを示しなさい（画像参照）。

私は・・・
∠BAM＝αとおくと、
　　∠MAC＝２α
三角形ABDは直角三角形だから、三角形ABDの外接円の中心をO、半径をｒとすると、点Oは辺ADの中点となり、
　　OA＝OB＝OD＝ｒ
　　∠BOD＝２α　（円周角と中心角の関係より）

ここから、
　　三角形BOD≡三角形OAC
を証明したかったのですが出来ませんでした。

何か良い方法があったら、教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.6

OurSQL

証明の書き方があまりにも杜撰（ずさん）なので、正しく書き直します。

B から AD に下ろした垂線の足を G、C から AD に下ろした垂線の足を H とします。
すると、△OBG と △ACH、△MBG と △MCH は、それぞれともに内角が全て等しくなります。
さらに、BM = CM なので、△MBG と △MCH は二角夾辺相等で合同となり、BG = CH となります。
よって、△OBG と △ACH も二角夾辺相等で合同となり、OB = AC となります。
さらに OB = OD と OD = OA が成り立つので、OA + OD = AC + AC、すなわち AD = 2AC が成り立ちます。

回答No.5

OurSQL

>#2さん、MとOは一致するとは限らないと思います。この問題で示したことを逆にたどれば、二等辺三角形ACOを適当に作り、AOの延長上にDがあり、直線AOについてCと反対側にBがあるように二等辺三角形OBDを作れば、△ABCはこの問題の条件を満たす三角形になるはずです。

回答No.4

Quattro99

BからADに垂線を降ろし交点をG、CからADに垂線を降ろし交点をHとします。
△OBGと△ACHはともに内角が全て等しいので相似です。
さらに、BM=CMなので、この二つの三角形はそれぞれOD、AHを底辺と見たときの高さ、つまり、BGとCHは等しいことになります。
結局、この二つの三角形は合同だとわかります。従って、BO=CAですから、AO=OD=ACとなり、AD=2ACです。

#2さん、MとOは一致するとは限らないと思います。この問題で示したことを逆にたどれば、二等辺三角形ACOを適当に作り、AOの延長上にDがあり、直線AOについてCと反対側にBがあるように二等辺三角形OBDを作れば、△ABCはこの問題の条件を満たす三角形になるはずです。

お礼

ありがとうございます！！
こんなに早く解決するなんて感激です。

BとCからADに垂線を下ろすとは・・・。
教えていただいて『なるほど！！』と思いましたが、自力では一生思いつかなかったと思います。

とてもよくわかりました。
本当にありがとうございます。

回答No.3

OurSQL

済みません。
No.2 に書いたことは、取り敢えず忘れてください。
吟味を怠っていました。

回答No.2

OurSQL

おそらく、

> ∠BAM＝２∠MAC

は

> 2∠BAM = ∠MAC

の書き間違いでしょう。

あなたの方針通り解くと、12α = 360° より、α = 30° で、M とO は同一の点だと分かります。

回答No.1

OurSQL

> 三角形ABCにおいて、BCの中点をMとすると、
> 　　∠BAM＝２∠MAC
> になります。

と

> ∠BAM＝αとおくと、
> 　　∠MAC＝２α

は矛盾しますよ。

あと、「画像参照」とありますが、画像が見えないんですけど。

補足

申し訳ありません。
問題文を間違えました。

誤）　∠BAM＝２∠MAC
正）　２∠BAM＝∠MAC

訂正いたします。

画像を入れようと努力をしているのですが、どうしても上手くアップできません。
ただ今、いろいろ試しているところです。
重ね重ね申し訳ありません。

初めての投稿で手間取っています。