数学の問題で困ってます

質問

y＝x2乗上の異なる2点A、Bにおける接線の交点をCとする。放物線と直線ABとで囲まれた図形の面積をS1,放物線と2直線AC,BCで囲まれた図形の面積をS2とするときS2/S1の値は？
この問題の解説を途中式も含めてお願いします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

A,Bの座標を(a,a^2),(b,b^2)(a<b)とすると
参考URLより
　S1=(1/6)(b-a)^3
　S2=(1/12)(b-a)^3
の求め方が証明付きで詳細に載ってますのでご覧ください。
従って
　S2/S1=1/2
となります。

参考URL：

http://www.hmg-gen.com/tecni2b-5.pdf

回答No.3

asuncion

＞S2/S1の値は？

1/2 です。

回答No.1

asuncion

A(a, a^2), B(b, b^2)とする。このとき、a < bと考えても一般性を失わない。
直線ABの式は
y - a^2 = (b^2 - a^2)(x - a) / (b - a) より、
y = (a + b)(x - a) + a^2
y = (a + b)x - ab

Aにおける接線の傾きは2aである。この接線はAを通るから、接線の式は
y - a^2 = 2a(x - a) より、
y = 2ax - a^2 …… (1)
同様に、Bにおける接線の式は
y = 2bx - b^2 …… (2)
交点Cの座標は、(1)(2)を連立させて得る。
2ax - a^2 = 2bx - b^2
2(a - b)x = a^2 - b^2
x = (a + b) / 2
(1)に代入する。
y = 2a(a + b) / 2 - a^2 = ab
C((a + b) / 2, ab)

S1 = ∫(a→b){(a + b)x - ab - x^2}dx
= [(a + b)x^2 / 2 - abx - x^3 / 3](a→b)
= {(a + b)b^2 / 2 - ab^2 - b^3 / 3} - {(a + b)a^2 / 2 - a^2・b - a^3 / 3}
= (a + b)(b^2 - a^2) / 2 - ab(b - a) - (b^3 - a^3) / 3
= (b - a){(a + b)^2 / 2 - ab - (a^2 + ab + b^2) / 3}
= (b - a)(3a^2 + 6ab + 3b^2 - 6ab - 2a^2 - 2ab - 2b^2) / 6
= (b - a)(a^2 + b^2 - 2ab) / 6
= (b - a)(b - a)^2 / 6
= (b - a)^3 / 6

S2
= ∫(a→(a + b) / 2){x^2 - (2ax - a^2)}dx + ∫((a + b) / 2→b){x^2 - (2bx - b^2)}dx
= [x^3 / 3 - ax^2 + a^2・x](a→(a + b) / 2) + [x^3 / 3 - bx^2 + b^2・x]((a + b) / 2→b)
= {(a + b)^3 / 24 - a(a + b)^2 / 4 + a^2(a + b) / 2} - (a^3 / 3 - a^3 + a^3)
+ (b^3 / 3 - b^3 + b^3) - {(a + b)^3 / 24 - b(a + b)^2 / 4 + b^2(a + b) / 2}
= -a(a + b)^2 / 4 + a^2(a + b) / 2 - a^3 / 3 + b^3 / 3 + b(a + b)^2 / 4 - b^2(a + b) / 2
= -(b - a)(a + b)^2 / 4 + (b^3 - a^3) / 3
= (b - a){(4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2) / 12}
= (b - a)(a^2 - 2ab + b^2) / 12
= (b - a)(b - a)^2 / 12
= (b - a)^3 / 12

∴S1 : S2 = 1/6 : 1/12 = 2 : 1