y''+2y'+10y'=0の計算が分かりません。

質問

y''+2y'+10y=0 [y(0)=3,y'(0)=5]
特性方程式λ^(2) + 2λ + 10 =0の解はλ=-1±3i となるから、
まず、このλがどのように出てきたのかが分かりません。多分、解の公式を使ってるんだろうなーというのは分かるのですが、λ＝－２±√（－６）となり、導けません。

この後の解法は、i=√(-1)となるから、基本解は{e^(-t)cos3t , e^(-t)sin3t}よって、一般解は
となっているのですが、sinやcosが出てきた理由が分かりません。

この後は、y(t)=e^(-t) (C1cos3t + C2sin3t) (C1,C2は任意定数）
次に、y'(t)=(-C1+3C2)e^(-t)cos3t-(C2+3C1)e^(-t)sin3tであるから、y(t)とy'(t)に初期条件を入れると、
y(0)=C1=3, y'(0)=-C1 + 3・C2=5
より、Ｃ１＝３，Ｃ２＝８／３、従って、求める解は
y(t)=e^(-t)(3cos3t+8/3sin3t)

以上です、分かる方ご教授お願いします。

回答No.3

uyama33 · ベストアンサー

問題が、
y''+2y'+10y=0 [y(0)=3,y'(0)=5]

だとします。

１．e^(αx)が解になるようなαを見つける。
　　式に代入すると、
　　(α^2 + 2α + 10)e^(α) = 0
2. αに関する2次方程式を解くと
　　解の公式（高校で習ったもの）より
　　α = -1±3i となる。
３．e^(-1+3i) = e^(-1) * e^(3i) とかける。
４．e^(3i) = cos(3) + i*sin(3) なので、サインコサインが出てくる。
５．e^(αx)のαに2つの解を代入してみる。（xでとこうとしたが変数はtでしたね）
６．基本解は、{e^(-t)(cos3t + i*sin3t) , e^(-t)(cos3t - i*sin3t) }
　となるが、適当に組み替えて虚数i　を消してしまう。
７．形の良い基本解として、{e^(-t)cos3t , e^(-t)sin3t}　をとれる。
８．解は、基本解の線形結合なので、係数をかけて結合し、初期条件を入れる。
　　2番目の条件は、微分してから入れる。e^0 = 1, cos0 = 1, sin0=0

分かりましたか？

お礼

ありがとうございます。
分かりました。

回答No.2

fjnobu

表題と本文の式が違いますね。
どちらにしても、ｙ’を一つにするだけで、ｙ’をカッコでくくるだけですね。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

まず, どう計算して「λ＝－２±√（－６）」が出たんでしょうか?

あとは, まあ基本解の線形結合だからそうなる, と.

お礼

すいません、解の公式への代入を間違っていました。
ありがとうございました。