非斉次の微分方程式の問題で答えが合いませんでした

質問

非斉次の微分方程式の問題で答えが合いませんでした
y'-2y=5sint
y(0)=0
これを解いていくと

斉次方程式
y'-2y=0
これをといて
y=Ae^(2t)
係数 A を A(t) と見なして
y'=A'e^(2t)+2Ae^(2t)
元の非政治方程式にい代入して
A'e^(2t)=5sint
A=5∫sin(t)e^(-2t)dt
=5{-cos(t)e^(-2t)-1/2sin(t)e^(-2t)-1/4∫sin(t)e^(-2t)dt}
=5{-cos(t)e^(-2t)-1/2sin(t)e^(-2t)-(1/4)(A/5)+C}
(5/4)A=-5cos(t)e^(-2t)-(5/2)sin(t)e^(-2t)+C
A=-4cos(t)e^(-2t)-2sin(t)e^(-2t)+C
y=-4cos(t)-2sin(t)+Ce^(2t)
y(0)=-1+C
C=1
y=-4cos(t)-2sin(t)+e^(2t)

になりましたが、答えは
y=e^(2t)-cos(t)-2sin(t)
となっていて計算が合いません
どこが間違っているのか教えてください

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

左辺を y'z + yz' の形にするために、z = e^(-2t) とすればよいことは、
怪しげな解法術を使わなくても、式を見れば普通気づく。
y' e^(-2t) + y {-2e^(-2t)} = 5(sin t) e^(-2t).
これを積分して、y e^(-2t) = 5∫(sin t)e^(-2t)dt.

S = ∫(sin t)e^(-2t)dt,
C = ∫(cos t)e^(-2t)dt　と置くと、
それぞれ部分積分して、
S = (-cos t)e^(-2t) - ∫(-cos t){-2e^(-2t)}dt = -(cos t)e^(-2t) - 2C + D1,
C = (sin t)e^(-2t) - ∫(sin t){-2e^(-2t)}dt = (sin t)e^(-2t) + 2S + D2,
ただし、D1, D2 は積分定数。

連立一次方程式を解いて、
S = -(1/3){2(sin t)+(cos t)}e^(-2t) + D3,
ただし、D3 は任意定数。

これを y e^(-2t) = 5S へ代入して、y(0) = 0 から D3 の値を決めれば、
y = -(5/3){2(sin t)+(cos t)} + (5/3)e^(2t).

お礼

こういう解き方もあるのですね。
参考にします。
回答ありがとうございます。

回答No.3

noname#185706

＃１です。

質問者さんの式
y = A e^(2t)
から
A = y e^(-2t)
　= ＃２さんの 5S .
結局、どちらの解法でも同じ積分をするわけですが、質問者さんが採用された定数変化法ではその積分の内容が形式的に導出され、「気づき」が不要です。ただ、少し手間がかかるのが欠点です。ですから、見通しがつく場合には＃２さんの方法を使われたらよいのではないかと思います。

なお、＃２さんが出された解はもとの微分方程式を満たしません。連立方程式を解くところに計算ミスがあります。

定数変化法の根拠については↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E6%95%B0%E5%A4%89%E5%8C%96%E6%B3%95

回答No.1

noname#185706

>A=5∫sin(t)e^(-2t)dt
>=5{-cos(t)e^(-2t)-1/2sin(t)e^(-2t)-1/4∫sin(t)e^(-2t)dt}

この部分積分が間違っています。公式を確認してください。

お礼

計算ミスに気づきました。
ありがとうございます。