三角関数の問題です

質問

kを定数としてθの方程式cos2θ=ksinθ
(-π/2≦θ≦π/2)を考える。

(1) この方程式が異なる2つの解を持つようなkの値の範囲を求めよ。

(2) kが(1)の範囲にあるとして、2つの解をθ=‪α‬,βとおく。sin‪α‬sinβの値を求めよ。
さらに、sin‪α‬+sinβ, cos(‪α‬+β)の値をkを用いて表せ。

この問題が分からないので、解法を教えていただきたいです！

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

cos2θ = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = ksinθ
2sin^2θ + ksinθ - 1 = 0
sinθ = tとおくと、2t^2 + kt - 1 = 0 (-1 ≦ t ≦ 1)
これが閉区間[-1, 1]において異なる2つの実数解をもつから、
以下の条件がすべて成り立てばよい。
f(t) = 2t^2 + kt - 1とおく。
判別式 ＞ 0 ... (1)
軸 t = -k/4について、-1 ＜ -k/4 ＜ 1 ... (2)
f(-1) ≧ 0 ... (3)
f(1) ≧ 0 ... (4)
(1)より、k^2 + 8 ＞ 0, これは必ず成り立つ
(2)より、-4 ＜ k ＜ 4
(3)より、-k + 1 ≧ 0, k ≦ 1
(4)より、k + 1 ≧ 0, k ≧ -1
よって求めるkの範囲は-1 ≦ k ≦ 1

2t^2 + kt - 1 = 0の2解をm, nとすると、解と係数の関係から
m + n = -k/2, mn = -1/2
m = sinα, n = sinβとなり、sinα + sinβ = -k/2, sinαsinβ = -1/2
cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ = cosαcosβ + 1/2
-π/2 ≦ α, β ≦ π/2より、cosα ≧ 0, cosβ ≧ 0
cosα = √(1 - sin^2α), cosβ = √(1 - sin^2β)
cosαcosβ = √((1 - sin^2α)(1 - sin^2β))
= √(1 - sin^2α - sin^2β + sin^2αsin^2β)
(sinα + sinβ)^2 = sin^2α + 2sinαsinβ + sin^2β = sin^2α + sin^2β - 1
sin^2α + sin^2β = k^2/4 + 1
cosαcosβ = √(1 - k^2/4 - 1 + 1/4) = √((1 - k^2)/4) = (1/2)√(1 - k^2)
∴cos(α+β) = 1/2 + (1/2)√(1 - k^2) = (1/2)(1 + √(1 - k^2)