解析学の勉強中ですが、自分の馬鹿さに凹みます…

質問

目標は１日２題なのですが、今日は一問も解けずじまいです…

本日の問題

(1)　y´´´-y=x^2+x　三階微分の問題です。

まず最初は両辺を単に三回積分しましたが、そんなわけは無いなとすぐに思いました。
次に特性方程式より
t^3-1=0を考えて、t=1　(ω,ω^2とかどうするのだろう)とか思いつつ、
f(x)=Ce^x (Cは積分定数です)
特異解をAe^xとして、Ae^x=x^2+x
∴y=Ce^x+x^2+x
とかも考えましたが、見当違いですよね？

結局、解法が解りません。

(2) y´´+y´+y = x^2+sinx 非同次線形の問題です。
特性方程式より
t^2+t+1=0 , t=-(1/2)±(√(3)i)/2　虚数解です。

仮に問題の式を同時式とした場合、
f(ｘ)=e^(-1/2)(C1sin(√3x/2)+C2cos(√3x/2)) (Cは積分定数です)

ここから先の特異解の求め方が解りません…
求めようとすると式が複雑になり計算が困難です。その時点で解法を間違えているかと…

お手数をお掛けいたします、アドバイスをお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)　非同次方程式の特殊解は　y=-x^2-x　です。
　　（yをxの2次式とすると　y'''=0 となることから明らかです。）

　同次方程式の一般解は　微分演算子Dを使うと、
　　(D^3-1)y=0
　　(D-1)(D^2+D+1)y=0
　∴y=Aexp(x)+exp(-x/2){Bcos(√3x/2)+Csin(√3x/x)}　　　　←設問(2)の同次方程式が解けているので分かりますよね。
　　　ただし、A,B,Cは定数。

　よって、非同次方程式の一般解は　非同次方程式の特殊解と　同次方程式の一般解を加えたものになるので、
　　y=-x^2-x+Aexp(x)+exp(-x/2){Bcos(√3x/2)+Csin(√3x/x)}

(2)　非同次方程式の特殊解を求めます。
　右辺が　x^2 だけのとき　yをxの2次多項式　f(x)=x^2+ax+b と仮定します。
　このとき　f'(x)=2x+a, f''(x)=2　　となりますので、
　　f''(x)+f'(x)+f(x)=x^2+(a+2)x+(a+b+2)　≡ x^2
　両辺の係数を比較して、　a=-2, b=0
　　∴f(x)=x^2-2x
　故に右辺がx^2だけのときの特殊解は　x^2-2x 　・・・・(A)

　次に、右辺が　sin(x)だけのとき y=c*cos(x)+d*sin(x) とすると　y''+y=0 となることから
　　y'=-c*sin(x)+d*cos(x) ≡ sin(x)
　両辺の係数を比較して、　c=-1, d=0
　　∴y=-cos(x)
　故に右辺がsin(x)だけのときの特殊解は　-cos(x)　　・・・・(B)

　従って、非同次方程式の特殊解は　（A)と（B)を足して　x^2-2x-cos(x)

　あとは同次方程式の一般解が　exp(-x/2){Asin(√3x/2)+Bcos(√3x/2)} (A,B:定数)と求められていますので、
非同次方程式の一般解は次のようになります。

　　y=x^2-2x-cos(x)+exp(-x/2){Asin(√3x/2)+Bcos(√3x/2)}

＞仮に問題の式を同時式とした場合、
＞f(ｘ)=e^(-1/2)(C1sin(√3x/2)+C2cos(√3x/2)) (Cは積分定数です)

　expの引数に誤記(正しくは -x/2 )がありますが気づかれていますか？

お礼

前回の無理不等式の件ではお世話になり、ありがとう御座います。
無事、課題の再々提出(…orz)ができました。

今回も非常に解りやすく、助かります。
おかげさまで、回答待ちの間にしておりましたxy'+y=y^2logxと合わせて計３題も理解できました。

これで、ゆっくり睡眠できます。

回答No.1

Tacosan

たぶんあなたが求めようとしているのは「特異解」ではなく「特殊解」ではなかろうかと思いつつ.
どちらも線形だから「その方程式の特殊解の 1つと同次にした方程式の一般解を加える」ことで一般解が得られます. 同次化した方程式を解くのは簡単なのでほかっておくとして, 特殊解を求めるんだけど....
(1) これは「2次式の 3階微分は 0」に気付けば実は簡単.
(2) こっちはさらに「= x^2 とした式」と「= sin x とした式」のそれぞれで求めると簡単か? 前者は 2次式, 後者は三角関数でおける.

でも, (1) で「ω,ω^2とかどうするのだろう」とか思っているのに (2) は疑問に思わなかったんだろうか?

お礼

いつもお世話になっていますTacosanさん。
ネットで確認しましたら”特殊解”でした…orz

>>これは「2次式の 3階微分は 0」に気付けば実は簡単
そこに注意が向かないのは経験不足なのだと思います。現状、典型的な微分方程式しか解けません。

「常微分方程式 (理工系の数学入門コース)」　矢嶋信男　著作
あたりを購入して勉強しようと思っています。