【難問】大学の数学（代数学）の問題の解答をいただける方おりますか？

質問

レポートなので、手順や計算方法も記載いただけると非常に助かります。

慶應義塾大学の数学（代数学）の問題です。
レポートなので、手順や計算方法も記載いただけると非常に助かります。

・微分方程式
・差分方程式
・Fibonacci型差分方程式

上記それぞれの特性解について大問が構成されています。
周りと協力して解いてみましたが、全く歯が立たないので、
こちらで質問させていただくことにしました。

表記が複雑なので、問題用紙をスキャンし添付致しました。
下記は問題の一部です。

(1)微分方程式 U^(2)+U=(D^(2)+I)U=0 …(*) について
（１）特性解がα1=i,α2=-iになることを示せ
（２）V(αk)=kn(D-αki)^(hi)とするときV(αk)の基と次元をそれぞれ求めよ
（３）U=(1/2)(C0-iC1)e^(it)+(1/2)(C0+iC1)e^(-it)で与えられることを示せ
さらにEulerの公式 e＾(±iｔ) = cos t + i sin t を用いると上式は
U=C0 cos t + C1 i sin t で表されることを示せ

このような大問が７つございます。
7/21（火）の正午が提出期限です。

宜しくお願い申し上げます。

回答No.1

grothendieck

すばらしい質問です!!　ミレニアム懸賞問題をしのぐ今世紀最大、いや数学史上最大の難問です。「レポート課題を質問するのは規約違反」とどこかにあったような気がしますが、そんな寝言は忘れて是非この問題を解決してフィールズ賞を目指してください。
(２) について
（１）x^3 + x^2 - x -1=(x-1)(x +1)^2=0の解はα1=1,α2=-1
（２）V(α1)の基は exp(t)で次元は１
　　　V(α2)の基は exp(-t)とｔ・exp(-t)で次元は２
（３）U(t) = A1 exp(t) + A2 exp(-t) + A3 ｔ・exp(-t)　とおく
　U(0)=A1 + A2 = C0
　U'(0)=A1 - A2 + A3 = C1
　U''(0)=A1 + A2 - 2A3 = C2
を解くと
　A1 = (1/4)C0 + (1/2)C1 + (1/4)C2
　A2 = (3/4)C0 - (1/2)C1 - (1/4)C2
　A3 = (1/2)C0 - (1/2)C2
となって問題にある解答と一致しなくなりました。しかし解答は絶対真理です。理論計算で決して絶対真理が得られないことは永遠の謎です。これを解明して是非フィールズ賞を獲って下さい。（「解答が間違っているだけじゃねーかよ。」などと言わないように）