y(t)=exp(-t)*sin(t)を相平面に描

質問

質問内容
　減衰振動 y(t) = exp(-t) * sin(t) を相平面上に描いて、らせん状になることを確認したい。

　50歳の数学が趣味の会社員です。
　いま勉強している「技術者のための高等数学－１　常微分方程式」の第５版
（ISBN4-563-00561-4）の 131頁に載っている下記の問題が難しくてどうしても
解けません。
　かれこれ 1週間ほど悩んでいます。

12.減衰振動 y(t) = exp(-t) * sin(t) を考える。対応する曲線を相平面上に
描き、この曲線がらせん状をしていることを見よ。

y(t) = exp(-t) * sin(t) から特性方程式 の解はλ = -1±i。（i = √(-1)）
ゆえに特性方程式は、
(λ - (-1 + i)) * ((λ - (-1 - i))
= ((λ + 1) - i) * ((λ + 1) + i)
= (λ + 1) ^ 2 - i ^ 2
= λ ^ 2 + 2 * λ + 1 + 1
= λ ^ 2 + 2 * λ + 2

特性方程式に対応する微分方程式は、
y'' + 2 * y' + 2 * y = 0（' は d/dt） … (1)

v = y' = dy/dt とおくと、
y'' = v' = dv/dt = dv/dy * dy/dt = dv/dy * v

ゆえに (1) は、
y'' + 2 * y' + 2 * y
= v * dv/dy + 2 * v + 2 * y = 0
dv/dy + 2 + 2 * y / v = 0 … (2)

u = v / y, v = u * y とおくと、dv/dy = du/dy * y + u
ゆえに (2) は、
dv/dy + 2 + 2 * y / v
= du/dy * y + u + 2 + 2 * y / (u * y)
= du/dy * y + u + 2 + 2 / u = 0
du/dy * y = -(u + 2 + 2 / u)
= -(u ^ 2 + 2 * u + 2) / u
u / (u ^ 2 + 2 * u + 2) * du = -dy / y
∫(u / (u ^ 2 + 2 * u + 2))du = -∫(dy / y) + B （B は積分定数） … (3)

(3) の右辺について
-∫(dy / y) + B = -log|y| + B

(3) の左辺について
∫(u / (u ^ 2 + 2 * u + 2))du
= (1 / 2) * ∫((2 * u + 2 - 2) / (u ^ 2 + 2 * u + 2))du
= (1 / 2) * ∫((2 * u + 2) / (u ^ 2 + 2 * u + 2))du
- ∫(1 / (u ^ 2 + 2 * u + 2))du
= (1 / 2) * log|u ^ 2 + 2 * u + 2|
- ∫(1 / ((u + 1) ^ 2 + 1))du
= (1 / 2) * log(u ^ 2 + 2 * u + 2) - atan(u + 1)（atan は tan の逆関数）

ゆえに (3) は、
(1 / 2) * log(u ^ 2 + 2 * u + 2) - atan(u + 1) = -log|y| + B
log(u ^ 2 + 2 * u + 2) - 2 * atan(u + 1)
= -2 * log|y| + C（C = 2 * B）
= -log(y ^ 2) +C

u = v / y なので、
log(v ^ 2 / y ^ 2 + 2 * v / y + 2) - 2 * atan(v / y + 1)
= -log(y ^ 2) + C
log((v ^ 2 + 2 * v * y + 2 * y ^ 2) / (y ^ 2)) - 2 * atan(v / y + 1)
= -log(y ^ 2) + C
log(v ^ 2 + 2 * v * y + 2 * y ^ 2) - log(y ^ 2) - 2 * atan(v / y + 1)
= -log(y ^ 2) + C
log(v ^ 2 + 2 * v * y + 2 * y ^ 2) - 2 * atan(v / y + 1) = C … (4)
ここで手詰まり。これ以上、式を簡単にできません。

　ここで yv 平面を極座標に変換してみると、(4) は、
y = r * cos(θ), v = r * sin(θ) とおく
log(r ^ 2 * sin(θ) ^ 2 + 2 * r ^ 2 * sin(θ) * cos(θ) + 2
* r ^ 2 * cos(θ) ^ 2)
- 2 * atan((r * sin(θ)) / (r * cos(θ)) + 1 ) = C
log(r ^ 2 * (sin(θ) ^ 2 + 2 * sin(θ) * cos(θ) + 2 * cos(θ)))
- 2 * atan(tan(θ) + 1 ) = C
log(r ^ 2 * (1 + 2 * sin(2 * θ) + cos(θ) ^ 2))
- 2 * atan(tan(θ) + 1 ) = C
log(r ^ 2 * (1 + 2 * sin(2 * θ) + cos(θ) ^ 2))
= C + 2 * atan(tan(θ) + 1)
r ^ 2 * (1 + 2 * sin(2 * θ) + cos(θ) ^ 2)
= exp(C + 2 * atan(tan(θ) + 1))
= C * exp(atan(tan(θ) + 1))（exp(C) を Cに再定義）
r ^ 2 = C / (1 + 2 * sin(2 * θ) + cos(θ) ^ 2)
* exp(atan(tan(θ) + 1))

　らせん状ということは、r = α * exp(β * θ) の形にならないといけないと
思うのですが、どうしてもその形に持って行けません。

　減衰しない振動 y(t) = sin(t) の場合は、対応する曲線を相平面上に描くと
円になるので、減衰振動がらせん状になることは予想できます。
　私がどこかで計算を誤っているのでしょうか? それとも、そもそも解き方が
根本的に誤っているのでしょうか ?

　最終学歴は工業高校卒業で大学には行っていません。
　45歳から数学を独学で勉強していて、周りには質問に答えてくれる人はいません。勉強している本にも答えは載っていません。
　ご教示いただければ幸いです。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

よく見ていないけど，計算はあっているように思う。
間違っているのは「らせん状ということは、r = α * exp(β * θ) の形にならないといけない」ということ。別にこんな形でなくても螺旋状に見えますよ。
直接に
y(t) = exp(-t) * sin(t)
と
v(t) = exp(-t) * (cos(t) -sin(t) )
から対応する曲線を相平面上に描いてください。この曲線がらせん状をしていることが見えます。

お礼

回答ありがとうございます。

y = exp(-t) * sin(t)
v = y' = exp(-t) * (cos(t) - sin(t))
で t を 0 ～ 4 まで変えて y, v を計算し、

r = √(y ^ 2 + v ^ 2)
θ = atan(v / y)
で y, v を極座標に変換して傾向を調べてみました。

t, y, v, r=√(y^2+v^2), θ=atan(v/y)
0.0, 0.000, 1.000, 1.000, 1.571
0.1, 0.090, 0.810, 0.815, 1.460
0.2, 0.163, 0.640, 0.660, 1.322
0.3, 0.219, 0.489, 0.536, 1.150
0.4, 0.261, 0.356, 0.442, 0.939
0.5, 0.291, 0.241, 0.378, 0.693
0.6, 0.310, 0.143, 0.341, 0.433
0.7, 0.320, 0.060, 0.325, 0.185
0.8, 0.322, -0.009, 0.322, -0.029
0.9, 0.318, -0.066, 0.325, -0.204
1.0, 0.310, -0.111, 0.329, -0.344
1.1, 0.297, -0.146, 0.330, -0.456
1.2, 0.281, -0.172, 0.329, -0.549
1.3, 0.263, -0.190, 0.324, -0.626
1.4, 0.243, -0.201, 0.315, -0.691
1.5, 0.223, -0.207, 0.304, -0.749
1.6, 0.202, -0.208, 0.290, -0.800
1.7, 0.181, -0.205, 0.273, -0.846
1.8, 0.161, -0.199, 0.256, -0.889
1.9, 0.142, -0.190, 0.237, -0.930
2.0, 0.123, -0.179, 0.218, -0.970
2.1, 0.106, -0.168, 0.198, -1.008
2.2, 0.090, -0.155, 0.179, -1.046
2.3, 0.075, -0.142, 0.160, -1.085
2.4, 0.061, -0.128, 0.142, -1.125
2.5, 0.049, -0.115, 0.125, -1.167
2.6, 0.038, -0.102, 0.109, -1.211
2.7, 0.029, -0.089, 0.094, -1.260
2.8, 0.020, -0.078, 0.080, -1.314
2.9, 0.013, -0.067, 0.068, -1.376
3.0, 0.007, -0.056, 0.057, -1.447
3.1, 0.002, -0.047, 0.047, -1.531
3.2, -0.002, -0.038, 0.038, 1.509
3.3, -0.006, -0.031, 0.031, 1.383
3.4, -0.009, -0.024, 0.025, 1.226
3.5, -0.011, -0.018, 0.021, 1.031
3.6, -0.012, -0.012, 0.017, 0.798
3.7, -0.013, -0.008, 0.015, 0.541
3.8, -0.014, -0.004, 0.014, 0.285

　r はたんだん小さくなっており、θは途中（t = 3.1）まで時計回りになっています。
　確かに、らせん状になっているようです。

　この問題の意図は、教えて頂いたとおりに素直に y, v を計算してグラフを描けば良かったのかもしれません。

　ありがとうございました。

回答No.2

f272

#1です。
> θは途中（t = 3.1）まで時計回りになっています。
atanでθを計算しているようですが、逆正接関数は多価関数であるため、atanは-π/2からπ/2までの主値と呼ばれる値しか返しません。一般的にはkを整数として
v/y=tan(θ)であればθ=atan(v/y)+kπ
というようにπの整数倍だけの不確定性があります。
t=3.1からt=3.2のところで、あなたの表に書かれているθの値を-πすればθの値は連続的に変化していきますね。要するにらせん回転の2周目に入ったということです。

お礼

回答、ありがとうございます。

　実はプログラムを作って t から y, v, r, θを計算したとき
θが時計回りをしているのに、どうして t=3.1 と t=3.2 の間で
このような値になってしまうのか理由が分かりませんでした。

　y と v の値を追って行けば、ご指摘のとおり t=3.2 以降も
時計回りをしています。

　数学って難しいですね。もっと勉強します。

　ありがとうございました。