特性方程式

質問

微分方程式で特性方程式を使う問題(y"-y'-y=0)で特性方程式よりλ＝±iというのがでてくるのですが、これをオイラーの公式を用いて
ｙ＝C1cos(x)+C2sin(x)で解が尽くせるとなるのがわかりません。
オイラー公式　e^(ix)=cos(x)+isin(x) e^(-ix)=cos(x)-isin(x)から答えは
y=C1{cos(x)+isin(x)}+C2{cos(x)-isin(x)}で尽くせるというのなら納得がいくのですが、どうやって解のようになるのでしょうか？

回答No.3

proto · ベストアンサー

＃２です
最後の方の説明が間違ってましたね

A+B,(A-B)iがそれぞれ実数の値を取るように
A,BをとりC1,C2で置き換えれば
ｙ＝C1cos(x)+C2sin(x)

電気回路の振動とかの場合
最終的な式に虚数単位iが残ることがありますが
実際に複素数の振幅が観測されることは無いので
このような変形をします

お礼

わかりやすい解答ありがとうございます。
ただ展開してまとめただけだったんですね^^;

回答No.2

proto

y=A{cos(x)+isin(x)}+B{cos(x)-isin(x)}　(A,Bは任意定数)
を整理して
y=(A+B)cos(x)+(A-B)i*sin(x)
A+B,A-BをそれぞれC1,C2で置き換えれば
ｙ＝C1cos(x)+C2sin(x)　　(C1,C2は任意定数)

回答No.1

info22

>問題(y"-y'-y=0)で特性方程式よりλ＝±iというのがでてくるのですが、
y"-y'-y=0
の特性方程式は
λ^2-λ-1=0
で、これからλ＝±i は出てきません。