ラプラス変換、教えてください

質問

ラプラス変換を使って、方程式を解く問題です。

(1)　∫cos2(t-τ)y(τ)dτ＝e^(2t)sin2t　　[0、t]

(2)　y'+y-5∫e^{-(t-τ)}cos2(t-τ)y(τ)dτ＝e^(-t)　
　[0、t]　｛y(0)=0｝

を与えられた条件のなかで解け。

まず(1)は、右辺をラプラス変換をして　2/{(s-2)^2+4}
しかし左辺をどのように変換すればよいのか分かりません。畳み込みを使おうと思ったのですが、だめでした。

(2)はラプラス変換をして、
　　{sY(s)-y(0)}＋Y(s)-5～～～＝1/(s+1)

∫e^{-(t-τ)}cos2(t-τ)y(τ)dτ　の部分のラプラス変換が分かりません。
大まかには分かるのですが、どのような流れで解に持っていけばいいのかも曖昧になっています。

ちなみに答は
(1)　y(t)＝1+e^2t (cos2t+3sin2t)
(2)　y(t)＝(5/2)-(5/2)e^(-2t)－4te^(-t)
になります。

どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

Rossana · ベストアンサー

(1)のヒント：
∫[積分区間は0～t]cos2(t-τ)y(τ)dτ
=cos2t*y(t)
と書けるので，Laplace変換すれば
{s/(s^2+2^2)}×Y(s)

(2)のヒント：
∫[積分区間は0～t]e^{-(t-τ)}cos2(t-τ)y(τ)dτ
＝(e^-t)・cos2t*y(t)
と書けるので，F(s)=L{cos2t}として，
Laplace変換すれば
L{(e^-t)・cos2t}×Y(s)
＝F(s＋1)×Y(s)
＝[(s+1)/{(s+1)^2+2^2}]×Y(s)

では頑張って下さい．

お礼

ヒントありがとうございます。

何とか解けそうです。やってみます!!

回答No.2

keyguy

一部抜けていました。

（２）
∫(0<τ<t)・e^(-(t-τ))・cos(2(t-τ))・y(τ)・dτ
のラプラス変換は
z(t)=e^(-t)・cos(2・t)のラプラス変換をZ(s)とし
y(t)のラプラス変換をY(s)とすると
Z(s)・Y(s)です。

お礼

ヒントありがとうございます。
がんばって解いてみますね

回答No.1

keyguy

（２）
∫(0<τ<t)・e^(-(t-τ))・cos(2(t-τ))・y(τ)・dτ
のラプラス変換は
z(t)=e^(-t)のラプラス変換をZ(s)とし
y(t)のラプラス変換をY(s)とすると
Z(s)・Y(s)です。