y´´-y=0を複数の解法で解いてみました

質問

y´´+y=0を複数の解法で解いてみます。
多分、後者が間違っていますので、ご指導下さい。お手数をおかけします。

特性方程式より考えると、t^2+1=0
t^2=-1よりt=±i

tが虚数解なので、t=p±qiのとき、一般解はe^(px){C1sin(qx)+C2cos(qx)}になるという公式<※C1,C2は積分定数>

（参照http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/Old/4KHouteishiki/houteisiki18.pdf　大矢教授のHPより)

にあてはめて、t=0±1iと考え、y=e^0(C1sinx+C2cosx)
y=C1sinx+C2cosx
確かにy´´+yに代入すると0になりそうです。

変数分離で考えると、y´´=-yより、1/y・y´´=-1
logy・y´=-x+C ※Cは積分定数
ylogy-y=-x^2/2+xC
y=ylogy+x^2/2+xC

何かy´´+y=0にならない気がします。そもそも変数分離は２階微分の方程式で使えるのでしょうか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

∫{ 1/y・y´´ }dy = logy・y´ としているのが、間違い。

「積の微分法」について、高校の教科書を読み返せば、
(d/dy){ logy・y´ } = 1/y・y´´ とはならないことが
解るはずです。

初等的に解きたいのなら、y´´ + y = 0 から
(y´)(y´´) + (y)(y´) = 0 と変形すれば
よかったのに。

前半は合っていますが、参照先の「公式」を公式として
暗記するのは、流石にお子様すぎる気がします。

重根がなければ、(積分定数)・e^( (特性方程式の解)・(変数) )
の和が一般解である　ことを公式として、
後は、e^(iθ) = (cos θ) + i(sin θ) から
件の「公式」を導いたほうがよいでしょう。

お礼

ご指摘、ありがとう御座います。

私も公式暗記は稚拙かと思っていましたので、証明を調べてみます。

回答No.2

Tacosan

1/y・y´´ は y''/y だよね. これを (y で) 積分して log y ・ y' になる?
言い替えると, log y ・ y' を微分すると y''/y になる?

f(y) dy = g(x) dx の形なら「変数分離」なんだけど, y''/y はこの形 (の左辺) になってないよね.

お礼

先日に続き、的確なご指摘ありがとう御座います。

Tacosanさんとalice_44さんの書き込みを元に再考させていただきます。