大学数学（位相数学）の問題です

質問

距離空間(X,d)において、点x∈Xから空でない部分集合A⊂Xまでの距離dist(x,A)をdist(x,A)=inf｛d(x,a):a∈A｝と定義する。これについて

(1)不等式|dist(x,A)-dist(y,A)|≦d(x,y)を証明しなさい。
(2)点xが集合Aの内点であるためにはdist(x,X/A)>0となることが必要かつ十分であることを証明しなさい。

この問題が分かりません。詳しい答えお願いします。

回答No.1

muturajcp

d(x,A)=dist(x,A)とする
(1)
d(x,A)-d(x,y)-d(y,A)>0を仮定すると
0<∃ε<d(x,A)-d(x,y)-d(y,A)
∃a∈A,d(y,a)<d(y,A)+ε
d(y,a)-d(y,A)<ε<d(x,A)-d(x,y)-d(y,A)
d(x,A)≦d(x,a)≦d(x,y)+d(y,a)<d(x,A)
となって矛盾するから
d(x,A)≦d(x,y)+d(y,A)
d(x,A)-d(x,y)≦d(y,A)
xとyを入れ替えても同じだから
d(y,A)-d(x,y)≦d(x,A)
∴
|d(x,A)-d(y,A)|≦d(x,y)

(2)
xをAの内点とすると
∃ε>0
{y:d(x,y)<ε}⊂A
d(x,X-A)=0を仮定すると
∃y∈X-A,d(x,y)<ε
→y∈Aとなって矛盾するから
d(x,X-A)>0

d(x,X-A)>0とすると
0<∃ε<d(x,X-A)
y∈{y:d(x,y)<ε}
y∈X-Aを仮定すると
ε<d(x,X-A)≦d(x,y)<ε
となって矛盾するから
y∈A
{y:d(x,y)<ε}⊂A
∴xはAの内点となる