位相(開集合を示す問題です)

質問

問　(Ｘ,ｄ)を距離空間とする。
　　　ｒ＞０、ｘ₀∊Ｘ、Ｂr(ｘ₀)：＝{ｙ∊X｜ｄ(ｙ,ｘ₀)＜ｒ}と置く。
　　このとき、Ｂr(ｘ₀)は開集合であることを示せ。

開集合を示すから、Ｂr(ｘ₀)の要素aを任意に取ることをかんがえましたが、そのあとの解答の筋道、方針が分りません。ご教授願います。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

Br(x0)の任意の元をbとすると
δ = r - d(x0,b) > 0
開球Bδ(b)に属する点は
d(x0,y) ≦d(x0,b) + d(b,y)　< d(x0,b) + δ = r
が成立する。
よって
Bδ(b)はBr(x0）に包まれる　→　aはBr(x0)の内点　→　Br(x0)は開集合である

みたいな感じ

回答No.2

NemurinekoNya

No.1です。
回答の訂正があります。

【誤】
★Bδ(b)はBr(x0）に包まれる　→　aはBr(x0)の内点　→　Br(x0)は開集合である

【正】
Bδ(b)はBr(x0）に包まれる　→　bはBr(x0)の内点　→　Br(x0)は開集合である

補足

なぜ、δをとろうとしたのでしょうか？また、δ = r - d(x0,b)とおけるのはなぜでしょうか？