高校数学の問題が解けません。とても困っています。

質問

aを正の定数とする。不等式x²≦y≦4分の1(x-a)²によって定義される領域をDとする。

(1)　Ｄを図示せよ。

(2)　D内の(x,　y）に対して、x＋2yの最小値を求めよ。

(3)　D内の(x,　y）に対して、x＋2yの最大値を求めよ。

以上3問です。よろしくお願いいたします<(_ _)>

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

(1)　Ｄを図示せよ。
＞x²≦y≦4分の1(x-a)²の左半分x²≦yは、二次曲線y=x^2
(これは原点を頂点とする下に凸(∪)な二次曲線）の線上を含む
上側(yが大きくなる向き)です。
y≦4分の1(x-a)²は、二次曲線y={(x-a)^2}/4(これはx=a,y=0、
a＞0ですから原点から右側のx軸上の点(a,0)を頂点とする
下に凸(∪)な二次曲線）の線上を含む下側(yが小さくなる向き)
です。
2本の二次曲線の交点は、y=x^2とy={(x-a)^2}/4を連立で解いて、
x^2={(x-a)^2}/4　→　4x^2=(x-a)^2　→　(2x)^2=(x-a)^2　→
2x=±(x-a)　→　2x=x-a及び2x=a-x　→　x=-a及び3x=a　→
x=-a及びx=a/3
x=-aのとき、y=x^2よりy=a^2
x=a/3のとき、y=x^2よりy=(a^2)/9
よって、2本の二次曲線の交点は、点(-a,a^2)と点(a/3,(a^2)/9)
になります。図を描くときにはaを仮に2とか3で計算してグラフ
を描き、両グラフの頂点の座標(0,0)と(a,0)及び交点の座標
(-a,a^2)と(a/3,(a^2)/9)を記入し(この際は2とか3ではなくaで
表示することが大切)、両曲線で挟まれた部分を斜線で示せば
Ｄ図が完成します。
(2)　D内の(x,　y）に対して、x＋2yの最小値を求めよ。
＞x＋2y=mとして、直線y=(-1/2)x+m/2を（１）の図に描き加え
ます。これはx=0でy=m/2なので、傾斜が-1/2でy軸との交点が
m/2の直線です。問題はmの最小値を求めるのですから、この
直線を領域D及び境界線上から外れないように平行移動させると、
y軸との交点が最小となるのはこの直線が二次曲線y=x^2に接する
ときであることが分かります。そこで、接する条件を求めると、
それは、y=(-1/2)x+m/2とy=x^2を連立で解いた解が一つになる
(重根になる)ときですから、x=m-2yをy=x^2に代入して
y=m^2-4my+4y^2　→　4y^2-(1+4m)y+m^2=0が重根となる条件、
すなわち根の判別式=0がその条件になり、
(1+4m)^2-4*4m^2=16m^2+8m+1-16m^2=8m+1=0　→　m=-1/8
よって、x＋2yの最小値は、-1/8になります。
(3)　D内の(x,　y）に対して、x＋2yの最大値を求めよ。
＞(2)と同様に、直線y=(-1/2)x+m/2を領域D及び境界線上から
外れないように平行移動させると、y軸との交点が最大となる
のは、この直線が、2本の二次曲線の交点のうちの点(-a,a^2)を
通るときであることがわかります。そこで、x=-a,y=a^2を
x＋2y=mに代入すると、-a+2a^2=a(2a-1)=mとなり、よって、
x＋2yの最大値は、a(2a-1)になります。

お礼

大変詳しいご回答ありがとうございます！！
参考にさせていただきます。

回答No.2

info22_

(1)
Dは２つの放物線で囲まれた領域ですから、a>0に注意して、自分で描いて下さい。

(2)
直線x+2y=kとy=x^2が接するとき　kは最小値-1/8をとる。この時x=-1/4,y=1/16。
図を描いて領域Dに直線x+2y=kが下から接していることを確認してください。

(3)
２つの放物線の交点はA(-a,a^2),B(a/3,a^2/9)
0<a<3/4のとき 直線x+2y=kが点B(a/3,a^2/9)を通るとき
　kは最大値(a/3+2a^2/9)=a(3+2a)/9をとります。
a≧3/4のとき 直線x+2y=kが点A(-a,a^2)を通るとき
　kは最大値(2a^2-a)=a(2a-1)をとります。

お礼

早速のご回答ありがとうございます！！
参考にさせていただきます。

回答No.1

aries_1

(1)aは正の定数だからy=(x-a)/4の切片は必ず負…(1)
y=xとy=(x-a)/4との交点を求め、(1)を踏まえてグラフをかく
そのグラフにおいて、y≧xかつy≦(x-a)/4を満たす範囲を示す
(2)x+2y=k…(3)(kは定数)とおき、kが(1)のグラフの中で最小となるのはどの点を通る時かを考え、その時のx、yの値を(3)に代入
(3)(2)と同様に今度はkが最大となる時のx、yの値を(3)に代入
(2)(3)は大まかに(1)のグラフに書き込むと分かりやすいです。

お礼

早速のご回答ありがとうございます！！
参考にさせていただきます。