わかりません！集合と位相

質問

集合と位相についての質問です。

問　Xを空でない集合、関数d:X×X→Rを
　　d(x,y)＝{1(x≠y)
　　　　　　 0(x＝y)
　　で定義する。このとき、dはX上の距離関数になることを示せ。
　　また、Xの点xに対してN(x;0.5),N(x;1),N(x;2)をそれぞれ求めよ。

一応ここまでは解けたのですが、

問　上の問よりdから定まる開集合をθとする。
　　このとき∀M⊂Xに対して、M∈θとなることを示せ。

この追加の問題がよくわかりません。

解答、アドバイス、なんでもいいので出来るだけ早めに回答をお願いします。初めてなので読みにくいかもしれませんが宜しくお願いします。

回答No.2

alice_38 · ベストアンサー

質問文中に N(x,r) という記号の説明が
何も無いのですが…
点 x の r-開近傍｛ y ｜ d(x,y)＜r ｝
のことでしょうか？ だとすれば、
距離関数 d が定める距離位相の開集合族は、
d の値域を D として、
｛ N(x,r) ｜ x∈X, r∈D, r≠0 ｝
とするのが通常です。
問題の d について、この開集合族を
求めてみましょう。

お礼

回答ありがとうございます。

そうなんです。説明を省いた問題が多くて…その都度、悩まされてます。
それにも関わらず、詳しく教えて下さってありがとうございます。とても参考になります。

ここから先は自分で解いてみようと思います。改めて、ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

「Xの点xに対してN(x;0.5),N(x;1),N(x;2)をそれぞれ求めよ。」の解答と
d から定まる開集合の定義を補足にどうぞ。

お礼

素早い回答ありがとうございました。

テンパって見落としてましたが、定義を見直してみたところ、何とかなりそうです。落ち着いて解こうと思います。

改めて、ありがとうございました。