位相数学の証明問題です。

質問

位相数学の証明問題です。

以下の証明を，どなたか分かる方，お願いします。

R^2の３つの部分集合A = { (x,y) | (x,y) ≠(0,0) }，B = { (x,y) | x^2 + y^2 > 1 }，C = { (x,y) | |x| >1 or |y| > 1 } は，いずれも同相（※）であることを示せ。

※2つの位相空間X,Yが同相であるとは，2つの連続写像 f ：X → Y および g ：Y → X で g o f = 1x ， f o g = 1y となるものが存在することをいう。

回答No.3

Anti-Giants

訂正。

A → C
(r,θ) →
(r+1/|cos(θ)|,θ) when -π/4 ≦ θ < π/4, 3π/4 ≦ θ < 5π/4
(r+1/|sin(θ)|,θ) when π/4 ≦ θ < 3π/4, 5π/4 ≦ θ < 7π/4

回答No.2

koko_u_u

位相空間の問題なので、当然 cosθの定義や、その連続性について悩んでるんですよね？

回答No.1

Anti-Giants

簡単のため極座標表示。
A → B
(r,θ) → (r+1,θ)

B → C
(r,θ) →
(1/|cos(θ)|,θ) when -π/4 ≦ θ < π/4, 3π/4 ≦ θ < 5π/4
(1/|sin(θ)|,θ) when π/4 ≦ θ < 3π/4, 5π/4 ≦ θ < 7π/4