位相数学の問題です。

質問

「距離空間では、任意の集合Ａに対して、その導集合Ａ’は閉集合である。」と言うことを証明せよ。

　上記の問題を教えてください。もう二週間くらい考えているのですが、全くわかりません。お願いします。

回答No.1

oodaiko · ベストアンサー

集合Ａの導集合Ａ'の定義は覚えていますか。Ａ'はＡの集積点の集合でしたね。

距離空間に限らずある位相空間のある集合が閉集合であることを示すための一番簡単な方法は、
その補集合が開集合であることを示すことです。なぜならある集合が開集合であることを示す
ためにはその集合のすべての点が内点であることを示すだけで良いからです。

そこでＡ'の補集合が開集合であることを示せば証明が完了します。

［証明］
いま考えている距離空間をＸとし、Ｘの２点x_1,x_2の距離をd(x_1,x_2)と書きます。
Ａ⊂ＸはＸの任意の部分集合。Ａ'はＡの導集合。(Ａ')~はＡ'の補集合とします。
また点x∈Ｘに対し、xを中心とする半径εの'開球'を
Ｏ_ε(x) と書きます。すなわちＯ_ε(x)＝ { y∈Ｘ ：d(x, y)＜ε} です。

まず次のことを確認しておきましょう。
Ａ''⊂Ａ'　　……（＊１）
すなわち導集合の集積点集合は最初の導集合の部分集合になると言うことです。これはテキスト
などに命題として書いてあると思いますが、念のためここから示しておきます。

x∈Ａ''ならば任意の正の数εに対してＯ_{ε/2}(x) ∩ Ａ' ≠ φ となります。
そこでy∈Ｏ_{ε/2}(x) ∩ Ａ'とするとyはＡ'の点ですから
Ｏ_{ε/2}(y) ∩ Ａ ≠ φ となります。z∈Ｏ_{ε/2}(y) ∩ Ａとすれば
d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)＜ε/2 + ε/2 ＝ ε となります。すなわち z∈Ｏ_ε(x)かつ z∈Ａ
ですから Ｏ_ε (x) ∩ Ａ ≠ φ が言えます。よってxはＡの集積点。
すなわち Ａ''⊂Ａ'であることが言えました。「（＊１）の証明終り」

さてx∈(Ａ')~ とします。定義よりxはＡの集積点ではありません。（これはxがＡ自身の点でない
と言うことは意味しません。xがＡの孤立点であればx∈(Ａ')~となります）よって

（＊２）ある正の数ε＞0 が存在し、Ｏ_ε(x) ∩ Ａ' ＝ φ となります。

Ｏ_ε(x)は明らかにxを含むＸの開集合（すなわちxの開近傍）ですから（＊２）は
(Ａ')~の任意の点xに対して(Ａ')~に含まれるようなxの開近傍が存在する
と言うことを示しています。すなわちxは(Ａ')~の内点です。そしてxは任意でしたから
(Ａ')~のすべての点は内点ということになります。すなわち(Ａ')~は開集合　　　　　　　　　■

（＊２）の部分は大丈夫でしょうか？念のためこの部分の解説もしておきます。（というより
この部分が証明のポイントですが）
もしどんな正の数εを取ってきてもＯ_ε(x) ∩ Ａ' ≠ φ となるのなら、xはＡ'の集積点
です。（＊１）で示したようにＡ'の集積点はＡ'自身の点でもあるので、xがＡ'の集積点である
ということはx∈(Ａ')~と言う条件に反しています。従って（＊２）が成り立たなくてはいけません。

お礼

親切な回答をどうもありがとうございました。実は、これは学校で当てられていた問題だったのですが、何回解いてもやり直しで、非常にナーバスになっていたところだったんです。本で調べても、導集合自体がほとんど見つからなくて。
　すごくわかりやすかったです。ありがとうございました！ひょっとしたら、またお世話になるかもしれないので、その時はまたよろしくお願いします。（もちろん、自分でも考えますけど）。