位相の問題です

質問

（R^n,d)を距離空間としＡとＢをR^2の部分集合とする。ＡとＢに対して、
集合Ａ+Ｂを　
Ａ+Ｂ＝｛a+b|a∈Ａ，b∈Ｂ｝で定義し、
Ａの点aとＢに対して、集合a+Bを　
a+Ｂ＝｛a+b|a∈Ａ，b∈Ｂ｝
で定義する。
このとき次の問いに答えよ。
ただしR^nの２点x=（x1,x2,…,xn) y=（y1,y2,…,yn)に対して
d(x,y)={Σ(xi-yi)^2}^1/2　とする。

（１）Rの点xに対して,ｘの近傍をN(x,ε)で表すときN(x+y,ε)=x+N(y,ε）を証明せよ。
（２）ＢがR^nの開集合であるとき集合A+BもR^nの開集合であることを証明せよ。
（３）ＡがR^nの閉集合、B={b1,b2,…,bn}であるとき、集合Ａ+ＢがR^nの閉集合であることを
　　　証明せよ

という以上の問題なのですが、（１）はイメージできるのですが証明がうまくいきません。
（２）（３）はさっぱりです。
どなたか教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

33550336

丸投げしている問題に回答を与えると削除されてしまいますのでヒントだけ。

（１）集合が等しいことを証明するので、両方の包含関係を証明しましょう。
集合Ａ、Ｂに対して、Ａ＝Ｂの定義はＡ⊂ＢかつＢ⊂Ａです。

（２）距離空間の部分集合Ａが開集合であるとは、任意のＡの点が内点になることです。

（３）補集合が開集合であることを示しましょう。