位相数学の証明問題です．

質問

以下の証明を，どなたか分かる方，お願いします．

（1）R^2の３つの部分集合A = { (x,y) | (x,y) ≠(0,0) }，B = { (x,y) | x^2 + y^2 > 1 }，C = { (x,y) | |x| >1 or |y| > 1 } は，いずれも同相（※）であることを示せ．

（2）R^2とR^2 - { (0,0) }（原点を除いた平面）は同相（※）でないことを示せ．

※2つの位相空間X,Yが同相であるとは，2つの連続写像 f ：X → Y および g ：Y → X で g o f = 1x ， f o g = 1y となるものが存在することをいう．

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

こんばんは。

これは直感的に明らかな問題ですね。でも直感的に明らかなことでも、証明するとなると大変ですね。

（１）同相写像はいろいろあります。質問者さんの考えたものでいいんではないですか。たとえば f：A →B　は(x,y)を動径方向に１だけ移動すればいいんじゃなかな。Ｃについてはご自分で考えて下さい。

（２）R^2の位相でR^2は閉集合だけど、R^2-{(0,0)}はR^2の位相で開集合です。閉集合の連続写像による像は閉集合でなければなりません。だから、同相ではないのです。

それでは。

お礼

ありがとうございます！
前にもお答えいただいた方ですよね！いつもありがとうございます．