位相数学の問題です
問1。
x∈R^2,r＞0に対しR^2の部分集合Ur(x),Ir(x)を
Ur(x)={y∈R^2:d2(x,y)＜r}
Ir(x)={y∈R^2:d∞(x,y)＜r}
とする。
ここでd2はEuclid距離,d∞はノルムⅠⅠ・ⅠⅠ∞により定義される距離(のn=2の場合)とする。
このときy∈Ir(x)に対しUp(y)⊂Ir(x)となるp＞0を具体的に求めろ。
問2
(X,D)を位相空間。△:X→X×X、△(x)=(x,x)を対角線写像とする。このとき、△は位相空間Xから積空間X×Xへの連続写像であることを示せ。
問3
X、Yを位相空間とする。写像f:X→Yに対し、F:X→X×Y、F(x)=(x,f(x))とする。fが連続ならばFはXからの直積空間X×Yへの連続であることを示せ。
問4
X×Yを位相空間(X,Dx)と(Y,Dy)の直積空間とする。Xの任意の点xに対してX×Yの部分空間{x}×Y(={(x,y)∈X×Y:y∈Y})はYと同相であることを示せ。
問5
(X,Dx)、(Y,Dy)を位相空間、(Z,Dz) (Z=X×Y)を直積位相空間、px:Z→X、py:Z→Yを射影とする。次の主張が正しければ証明し、誤りであれば反例をあげろ。
(i)射影pxは開写像である
(ii)射影pxは閉写像である
お礼
解決できました！ありがとうございました
補足
すいません． 上で述べたのは，直積位相の定義で， 二つの位相空間（X、Ox）、（Y、Oy）の直積集合X×Yの開集合とは，Ox∋UとOy∋Vの直積集合U×Vの形の集合の任意個数の和集合として書けるものとして定める．これを直積位相という． でした． 回答いただけたら有難いです．