位相数学について再び質問です

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2686308.htmlで質問したものです。
また自分なりに考えた解答を添削＆教えてください。

問１－１）（X、Ox）(Y,Oy)を位相空間とする
　　　　X × Yの直積位相とは何か？
これがさっぱりわかりません。

問１－２）XとYがハウスドルフ空間ならば、X　×　Yもハウスドルフ空間であることを示せ。

これもさっぱりです。たぶん問１－１を使うと思います。

問２）（X、ｄ）を距離空間とする
　　　距離ｄの定めるXの位相Oｄの定義とはなにか？
これもわかりません、どういう意味でしょうか？位相Oｄが距離空間の定義を満たすということでしょうか？

問３）Xがコンパクトで、A⊂Xが閉集合ならAもコンパクトであることをしめせ。

Xがコンパクトだから、Xの任意の開被覆が必ずXの有限被覆を部分集合として含んでいる。ここまではいいと思います。たぶんAがコンパクトでないと仮定して矛盾を示すと思います。これ以上がどうしてもわからないです。

回答No.1

kabaokaba

問１　
>　　X × Yの直積位相とは何か？
>これがさっぱりわかりません。

また定義と定理をごっちゃにしています．
直積位相は「定義」です．
定義がでてませんか？
一般の直積集合に対する直積位相の定義は煩雑ですが，
その本はいきなり一般の定義を書いてあるような本ではないはずです．

問１－２　問１というか直積位相がわかってからのお話です．
直積位相が分かればほとんど自明です．

問２
＞位相Oｄが距離空間の定義を満たすということでしょうか？
逆です．距離から位相を定めます．
これも「定義」です．
距離空間から位相を定める場合は「お約束」があります
そのお約束はきちんとかかれてるはずです

問３
＞たぶんAがコンパクトでないと仮定して矛盾を示すと思います
違います．
Aがコンパクトであることの定義を理解していますか？
Aがコンパクトであるとは
「Aの任意の開被覆に対して，
有限部分開被覆をとることができる」
です．
したがって，「Aの任意の有限開被覆」から，
有限部分開被覆を構成すれば証明終わりです．
AはXの部分集合ですので「当然」AにはXからの相対位相が入ります．
まずは「相対位相」の「普通の定義」を理解するのが必須です．
前の質問のように「写像が誘導する」位相だと
相対位相を理解しているとかなり難儀します．

補足

問１－１と１－２と問２が定義であることはわかっていますし、この
集合・位相入門にものっています。しかし言っていることがわからないので質問しました。
直積位相についてはこのように書いてあります。

Sは位相空間です。Qはそれの位相
各λ∈∧についてSからSλ（λは添え字）への射影をprλ（λは添え字）とするとき、写像族（prλ）λ∈∧もうｐって（（Sλ、Qλ））λ∈∧からSに誘導される位相、すなわち、すべてのprλが連続となるようなSにおける際弱の位相QをSの直積位相という。

と書いてあります。
これがX × Yについてはどういうことなのかがわかりません。

距離空間から位相を定める場合は「お約束」があります
そのお約束はきちんとかかれてるはずです

このことですか？

Oの任意の点aに対してB（a;ε）⊂Oとなるような球体B（a：ε）が存在する。（中心a半径ε）

この球体のことをOｄと呼んでいるのでしょうか？