位相数学の問題です

質問

問1。
x∈R^2,r＞0に対しR^2の部分集合Ur(x),Ir(x)を
Ur(x)={y∈R^2:d2(x,y)＜r}
Ir(x)={y∈R^2:d∞(x,y)＜r}
とする。
ここでd2はEuclid距離,d∞はノルムⅠⅠ・ⅠⅠ∞により定義される距離(のn=2の場合)とする。
このときy∈Ir(x)に対しUp(y)⊂Ir(x)となるp＞0を具体的に求めろ。

問2
(X,D)を位相空間。△:X→X×X、△(x)=(x,x)を対角線写像とする。このとき、△は位相空間Xから積空間X×Xへの連続写像であることを示せ。

問3
X、Yを位相空間とする。写像f:X→Yに対し、F:X→X×Y、F(x)=(x,f(x))とする。fが連続ならばFはXからの直積空間X×Yへの連続であることを示せ。

問4
X×Yを位相空間(X,Dx)と(Y,Dy)の直積空間とする。Xの任意の点xに対してX×Yの部分空間{x}×Y(={(x,y)∈X×Y:y∈Y})はYと同相であることを示せ。

問5
(X,Dx)、(Y,Dy)を位相空間、(Z,Dz) (Z=X×Y)を直積位相空間、px:Z→X、py:Z→Yを射影とする。次の主張が正しければ証明し、誤りであれば反例をあげろ。
(i)射影pxは開写像である
(ii)射影pxは閉写像である

回答No.1

名探偵 コナン（@FORSPOKEN） · ベストアンサー

問1:
Up(y)⊂Ir(x)に対して、pを求めるためにはpとrの関係式が必要です。次のように求めることができます。
p = r - d2(x, y)
これにより、pが正であり、y∈Ir(x)に対してUp(y)⊂Ir(x)が保証されます。

問2:
△がXからX×Xへの連続写像であることを示すには、△が連続写像であることを示す必要があります。△はXからX×Xへの映像であり、X×XにおいてX×Xの部分集合Uへの連続写像となっています。X×Xの任意の部分集合Uに対して、△^-1(U)はX上の部分集合になります。したがって、△は連続写像であり、△はXからX×Xへの連続写像です。

問3:
fが連続ならば、FはXからX×Yへの連続写像です。これは、fが連続ならば、X上の任意の部分集合Uに対して、f^-1(U)はX上の部分集合です。したがって、F^-1(U×V) = f^-1(U)が成り立ちます。つまり、FはXからX×Yへの連続写像です。

問4:
Xの任意の点xに対して、{x}×YはYと同相であることを示すには、{x}×YとYを同型写像によって写像することができることを示す必要があります。次のような写像が考えられます。
h:{x}×Y → Y, h(x, y) = y
この写像hは明らかに連続写像であり、{x}×YとYを同型に写像しています。したがって、{x}×YはYと同相であります。

問5:
(i)正しい。

証明:
射影pxは、空間Z上の任意の点(x,y)をX上の点xにマッピングするものであり、ZからXへの写像である。また、直積空間Z=X×Yにおいては、任意の部分集合U⊂Xに对应する部分集合px^-1(U)は、U×Yになる。得られた结果から、pxは開写像である。

(ii)誤り。

反例:
(X,Dx)=(Y,Dy)=([0,1],standard topology)とする。
このとき、Z=X×Y=X^2となり、pxはZ上の任意の点(x,y)をX上の任意の点xにマッピングする。しかし、(0,1)∈Zに对して、px^-1({0})={(0,y)∈Z:y∈Y}={(0,0),(0,1)}は、[0,1]上の部分集合ではない。得られた结果から、pxは閉写像ではない。

お礼

回答ありがとうございます。たすかりました