位相

質問

X を位相空間，Y をコンパクト位相空間とする．このとき，
(1) U を直積位相空間X × Y の開集合としたとき，
A = { x | {x} ×Y ⊂ U } はX の開集合であることを示せ．

これを解くためのヒントをください。
Ａに含まれる任意の点　x1のある近傍がＡに含まれることをしめすんですね。そのような近傍をどうとればいいんでしょうか。

回答No.3

muturajcp

X を位相空間，Y をコンパクト位相空間とし，
U を直積位相空間X × Y の開集合としたとき，
A = { x | {x} ×Y ⊂ U } はX の開集合であることの証明

射影π_1:X × Y → X , π_1(x,y)=x　とする
射影π_2:X × Y → Y , π_1(x,y)=y　とする
任意の　a∈A　とする
任意の　b∈Y　とする
→　(a,b)∈{a} ×Y⊂U　だから
(a,b)∈W_{a,b}⊂π_1(W_{a,b})×π_2(W_{a,b})⊂U　、
となる　開集合　W_{a,b}　がある

Y=∪_{b∈Y}π_2(W_{a,b})　で　Y　コンパクトだから
Y=∪_{1≦k≦n}π_2(W_{a,b_k})　となる　{b_k}_{1≦k≦n}⊂Y　がある

V_a=∩_{1≦k≦n}π_1(W_{a,b_k}) とし
x∈V_a　とし
(x,y)∈{x} ×Y　とすると
→　y∈π_2(W_{a,b_k})　　となる　b_k　がある
→　(x,y)∈π_1(W_{a,b_k})×π_2(W_{a,b_k})⊂U
→　{x} ×Y ⊂ U
→　x∈A
→　a∈V_a⊂A
→　A　は開集合

回答No.2

noname#62967

Aの定義から、まずx1を通る「直線」を考えます。
次に、直線上の点は開集合Uの点なので、Uに含まれる「長方形」を考えます。
あとは、Yのコンパクト性が活躍してくれるはずです。

回答No.1

koko_u_

>これを解くためのヒントをください。
Y がコンパクトであることを使う。