方程式って何次まで解けますか？

質問

２次方程式は中学で習います。

３次方程式は、因数分解が出来れば解けます。
また、解が１個見つかれば、２次方程式になるので、これも解けます。

４次以上の方程式は解けるのですか？
いわゆる解の公式みたいなのがあるのですか？

上でいう方程式とは、Aｘ＾3+Bｘ＾2+Cｘ+D＝0みたいな形式のことです。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

No.1
>実数の世界の話として、
>４次までは解の公式があります。５次以上には解の公式はありません

半分正しいけど・・・半分正しくない．
実数に限りません．
複素係数3次代数方程式・4次代数方程式には
解の公式が存在します．
5次以上では解の公式そのものが存在しないことが
証明されてます（アーベル・ルフィニの定理）．

この「解ける」というのは
四則演算と累乗根の有限の組合せという手段によって
ということだというのは既に指摘がある通りです．

たぶんもっと係数を一般化しても問題ないと思う
累乗根さえ「きちんと」計算できる体であれば
解の公式は4次まで存在するんじゃないかなと思います．

じゃあ，もっと次数が高い場合は？となります．
一般には
複素係数n次代数方程式には解が存在します（代数学の基本定理）．
これの証明には本質的に，実数の連続性が使われるので
複素係数であることは外せません．

しかし，実はこれの逆の発想で
係数がどんなものでも，
代数方程式が必ず解を持つように
係数を拡大できることも知られています（代数的閉体の存在）．

ということで，手段を問わなければ，
「解ける」＝「解が存在する」という意味であれば
代数方程式は次数がどうでも解は存在する（解ける）
（解が存在するような世界が存在する）わけです．

存在しても，具体的に表せるとは限らないところが
面白いところではあります．

逆に・・・「解く」ための手段を
四則演算と累乗根以外に広げた場合に
どこまで「解の公式」があるのか？
「解く手段」として何を許容するのか？
という問題もあります．
これが数学的にどのくらい興味をひく問題なのかは知りませんが
そういう「拡張版」5次方程式の解の公式は存在します．
もっとも具体的にどのようなものかは知りません(^^;

お礼

方程式は解けるというだけでなく、解が存在するかどうかという点も、重要なところなんですね～。
回答ありがとうございます。

補足

他の方からのご指摘にもありますが、
私が言う【解ける】とは、四則演算と累乗根による表記で、具体的な値として表せる、という意味です。
いわゆる解の公式で表せるイメージです。
係数は特に意識していなかったのですが、実数だと思っていました。

回答No.5

alice_44

＞ ３次方程式は、因数分解が出来れば解けます。
その意味では、任意の代数方程式が「解ける」。

そうではなくて、２次方程式の解公式みたいなものが欲しいのなら、
３次方程式にはカルダノの解法、
４次方程式にはフェラーリの解法やデカルトの解法がある。
５次以上だと、加減乗除と冪根の組合せで一般解を表示する公式が
無いことは、アーベルとガロアがそれぞれ証明した。

No.3 さんが書いているような、代数式以外の解公式には、
高校数学にも時々登場する、三角関数の三倍角公式を使った
３次方程式の解公式(参考： http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F#.E3.83.93.E3.82.A8.E3.82.BF.E3.81.AE.E8.A7.A3 )
や、楕円関数を使った５次方程式の解公式(参考： http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F )
あたりが有名かな。Wikipedia の記述はアッサリしているが、
詳細は↓に出ている。
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11459-1/

お礼

数学カテゴリで良く拝見するシマウマアリスさんですね。
回答いただき光栄です。

これからも宜しくお願いいたします。

補足

リンクより３次方程式の解の公式見ましたが、とんでもない複雑なものなんですね。
カルダノの公式は一応式は追えましたが、解の一つが整数になる場合など、この根号がきれいに外れるのか不安になります。
楕円関数のところは、完全に理解不能に・・・
わたしには難しすぎました。

回答No.4

MagicianKuma

>４次の場合は複素数の範囲内で必ず解ける。という解釈よろしいですか？
代数的に解けるという意味です。解があると言うことと解けるということを同じ意味で表現しているなら、上記解釈で良いけど。実数の範囲で2個見つかっても解けたことにはなるでしょう？解の公式があるという意味は、解がある無しではなく、解を代数的に導く式があるかないかという意味です。

No1で、実数の範囲でと書いたのは私のミスです。この文不要です。また、普通は係数は有理数として説明されています。

お礼

補足の書き込み、ありがとうございます。

係数は特に意識もせ実数だと思い込んでいましたが、無理係数と有理係数では大きな違いがあるのですか？
（と聞いてみても、実際に説明されても、理解できるほどの数学力はありませんが）

補足

私の『解ける』のイメージは下の補足に書いた通りです。

『代数的に解ける』という意味は、代数的でない解き方や、解が存在するということでしょうか？
代数の反意語なら、幾何という言葉を思いつきますが、『幾何的に解ける』という表現は、あるのでしょうか。

回答No.2

noname#155799

４次方程式では、Ferrariの解法を使うみたいです。

５次方程式以上は、公式がないみたいです。

お礼

やはり５次以上は特別な場合以外は解けないのですね。

Ferrariの解法ってのを調べてみたいと思います。
どもうありがとうございます。

回答No.1

MagicianKuma

実数の世界の話として、
４次までは解の公式があります。５次以上には解の公式はありません。
なので４次までは解けます。５次以上は解けるとは限りません。（係数によっては解ける場合もある）
注意したいのは、この「解ける」と言う意味は、
方程式の係数から始まって、四則演算と冪根を求める演算を繰り返して解を表現できる。という意味です。

お礼

４次の場合は複素数の範囲内で必ず解ける。という解釈よろしいですか？

５次以上だとダメなんですね。
大変参考になりました、どうもありがとうございました。